Какова площадь боковой поверхности правильной восьмиугольной пирамиды, если плоский угол при вершине составляет

Yaschik

22

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем площадь одного бокового равностороннего треугольника.

Поскольку пирамида правильная, все ее грани одинаковые и равносторонние треугольники. Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нам понадобится найти площадь одного из таких треугольников.

Для начала найдем длину высоты треугольника. Пусть сторона треугольника равна \(s\). Так как угол при вершине равен 30 градусам, мы можем разбить треугольник на два прямоугольных треугольника. Затем, используя тригонометрию, мы найдем высоту треугольника, которая будет равна \(\frac{s}{2} \cdot \tan(30^\circ)\) или \(\frac{s}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности.

Теперь мы можем найти площадь одного треугольника, используя формулу для площади треугольника, \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\). Основание треугольника равно длине бокового ребра, а высота равна высоте, которую мы нашли на первом шаге.

Таким образом, площадь одного треугольника будет равна \(S = \frac{1}{2} \cdot s \cdot \frac{s}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\) или \(S = \frac{s^2}{4\sqrt{3}}\).

Теперь у нас есть площадь одного треугольника, но нам нужно найти площадь боковой поверхности всей пирамиды. Поскольку у нас есть восемь таких треугольников (по одному на каждую грань пирамиды), мы просто умножим площадь одного треугольника на восемь:

\[ S_{\text{бок}} = 8 \cdot S = 8 \cdot \frac{s^2}{4\sqrt{3}} = \frac{2s^2}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной восьмиугольной пирамиды будет равна \(\frac{2s^2}{\sqrt{3}}\), где \(s\) - это длина бокового ребра пирамиды.