1. Найдите расстояние между точками Е и F треугольника МНК, если прямая, параллельная стороне МН, пересекает стороны

Natalya

31

Для решения данных задач воспользуемся теоремой параллельных прямых и формулами для расстояния между точками и площади треугольника.

1. Найдем расстояние между точками Е и F треугольника МНК.
Дано:
КЕ = 6 см,
КМ = 10 см,
КФ = 9 см,
КН = 15 см.

Для начала, обратим внимание на то, что сторона КМ является основанием треугольника МКН. Очевидно, что прямая, параллельная стороне МН, пересекает стороны МК и МН в точках Е и F. Поскольку прямая, параллельная стороне МН, пересекает сторону МК в точке Е, то отрезок KE является основанием треугольника КЕФ. Таким образом, для нахождения расстояния между точками Е и F, нам нужно найти длину перпендикуляра, проведенного из точки F к отрезку KE.

Используем теорему параллельных прямых:
\(\frac{{КЕ}}{{МК}} = \frac{{КФ}}{{МН}}\)

Подставляем известные значения:
\(\frac{{6 \, \text{{см}}}}{{10 \, \text{{см}}}} = \frac{{9 \, \text{{см}}}}{{МН}}\)

Переносим МН влево:
\(6 \, \text{{см}} \cdot МН = 10 \, \text{{см}} \cdot 9 \, \text{{см}}\)

Выражаем МН:
\(МН = \frac{{10 \, \text{{см}} \cdot 9 \, \text{{см}}}}{{6 \, \text{{см}}}}\)

Выполняем вычисления:
\(МН = 15 \, \text{{см}}\)

Теперь, чтобы найти расстояние между точками Е и F, нам осталось вычислить длину перпендикуляра. Поскольку треугольник КФМ является прямоугольным (перпендикуляр проведен из угла), то мы можем использовать теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора:
\(КМ^2 = КН^2 - МН^2\)

Подставляем значения:
\(10 \, \text{{см}}^2 = 15 \, \text{{см}}^2 - МН^2\)

Выражаем МН^2:
\(МН^2 = 15 \, \text{{см}}^2 - 10 \, \text{{см}}^2\)

Выполняем вычисления:
\(МН^2 = 225 \, \text{{см}}^2 - 100 \, \text{{см}}^2\)

\(МН^2 = 125 \, \text{{см}}^2\)

Извлекаем квадратный корень:
\(МН = \sqrt{125 \, \text{{см}}^2}\)

Выполняем вычисления:
\(МН \approx 11,2 \, \text{{см}}\)

Теперь мы можем найти расстояние между точками Е и F, подставив найденные значения КЕ, МН и МН, соответственно, в формулу для расстояния между точками:

\(Расстояние \, между \, точками \, Е \, и \, F = КЕ - МН \approx 6 \, \text{{см}} - 11,2 \, \text{{см}}\)

Выполняем вычисления:
\(Расстояние \, между \, точками \, Е \, и \, F \approx -5,2 \, \text{{см}}\)

Таким образом, расстояние между точками Е и F треугольника МНК примерно равно -5,2 см. Обратите внимание, что отрицательное значение указывает на то, что точка F находится справа от точки Е.

2. Перейдем к вычислению периметра треугольника МКН.
Дано:
КМ = 10 см,
КЕ = 6 см,
КФ = 9 см,
КН = 15 см.

Периметр треугольника вычисляется как сумма длин его сторон. В нашем случае, чтобы найти периметр треугольника МКН, мы должны сложить длины всех трех его сторон:

\(Периметр \, треугольника \, МКН = КМ + КЕ + КН\)

Подставляем известные значения:
\(Периметр \, треугольника \, МКН = 10 \, \text{{см}} + 6 \, \text{{см}} + 15 \, \text{{см}}\)

Выполняем вычисления:
\(Периметр \, треугольника \, МКН = 31 \, \text{{см}}\)

Таким образом, периметр треугольника МКН равен 31 см.

3. Найдем площадь треугольника КЕФ.
Дано:
КЕ = 6 см,
КМ = 10 см,
КФ = 9 см.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника по длинам его сторон и полупериметру треугольника:

\(Площадь \, треугольника \, КЕФ = \sqrt{p(p - КЕ)(p - КМ)(p - КФ)}\)

где \(p\) - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив результат на 2:

\(p = \frac{КЕ + КМ + КФ}{2}\)

Подставляем известные значения и вычисляем полупериметр:
\(p = \frac{6 \, \text{{см}} + 10 \, \text{{см}} + 9 \, \text{{см}}}{2}\)

Выполняем вычисления:
\(p = \frac{25 \, \text{{см}}}{2}\)
\(p = 12,5 \, \text{{см}}\)

Теперь, подставляем найденные значения в формулу для площади треугольника:
\(Площадь \, треугольника \, КЕФ = \sqrt{12,5 \, \text{{см}} \cdot (12,5 \, \text{{см}} - 6 \, \text{{см}}) \cdot (12,5 \, \text{{см}} - 10 \, \text{{см}}) \cdot (12,5 \, \text{{см}} - 9 \, \text{{см}})}\)

Выполняем вычисления:
\(Площадь \, треугольника \, КЕФ = \sqrt{12,5 \, \text{{см}} \cdot 6,5 \, \text{{см}} \cdot 2,5 \, \text{{см}} \cdot 3,5 \, \text{{см}}}\)

\(Площадь \, треугольника \, КЕФ = \sqrt{327,8125 \, \text{{см}}^4}\)

Выполняем вычисления:
\(Площадь \, треугольника \, КЕФ \approx 18,11 \, \text{{см}}^2\)

Таким образом, площадь треугольника КЕФ примерно равна 18,11 см².

Надеюсь, что данное пошаговое объяснение помогло вам понять решение задач.