Какова площадь боковой поверхности прямой призмы, имеющей основание в виде ромба с острым углом 45° и высоту

Yascherica

58

Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрические свойства и формулы площадей фигур.

Пусть диагонали ромба равны \(d_1\) и \(d_2\). Так как ромб имеет острый угол 45°, то его стороны равны, а значит, диагонали также равны:
\(d_1 = d_2\).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна сумме площадей верхнего и нижнего оснований, которые являются равными ромбами:
\(P_{\text{верх}} = P_{\text{ниж}} = S_{romb}\), где \(S_{romb}\) - площадь ромба.

Зная, что площадь боковой поверхности цилиндра составляет 153π см², мы можем записать следующее уравнение:
\(2 \times P_{\text{верх}} + 2 \times P_{\text{ниж}} = 153 \pi\).

Так как нам нужно найти площадь боковой поверхности призмы, которая состоит из боковых граней цилиндра, то нам потребуется вычесть площади верхнего и нижнего оснований ромба из общей площади боковой поверхности цилиндра:
\(P_{\text{бок.пов.призмы}} = 2 \times P_{\text{верх}} + 2 \times P_{\text{ниж}} - 2 \times S_{romb}\).

Для того чтобы найти площадь ромба, нужно знать его диагонали \(d_1\) и \(d_2\). Выразим диагональ \(d_1\) через его сторону \(a\) и воспользуемся теоремой Пифагора:
\(d_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
Отсюда \(d_1 = \sqrt{2}a\).

Мы знаем, что сторона ромба равна высоте призмы, которая равна 17 см.
Таким образом, \(a = 17\) см.

Теперь мы можем найти площадь ромба, зная его сторону:
\(S_{romb} = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{(\sqrt{2} \times a) \times (\sqrt{2} \times a)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2\).

Подставим найденные значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности призмы:
\(P_{\text{бок.пов.призмы}} = 2 \times P_{\text{верх}} + 2 \times P_{\text{ниж}} - 2 \times S_{romb} = 2 \times S_{romb} + 2 \times S_{romb} - 2 \times S_{romb} = 2 \times S_{romb}\).

Заменим площадь ромба \(S_{romb}\) на \(a^2\) и выразим результат в форме корня:
\(P_{\text{бок.пов.призмы}} = 2 \times a^2 = 2 \times 17^2 = 2 \times 289 = 578\).

Ответ:
Площадь боковой поверхности прямой призмы, имеющей основание в виде ромба с острым углом 45° и высоту 17 см, если в нее вписан цилиндр с боковой поверхностью 153π см², равна 578 см².