Какова площадь боковой поверхности прямой призмы с объемом 48 корней квадратных из 3 см в кубе, основание которой

Анастасия

57

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема прямой призмы и связанных с ней формул для площади боковой поверхности и площади основания.

Для начала найдем длины сторон основания прямой призмы, используя данные в задаче. У нас есть гипотенуза и угол треугольника. Поскольку угол 30 градусов, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины сторон.

Первая сторона основания прямоугольного треугольника будет равна \(8 \cos 30^\circ\), так как косинус угла равен отношению прилегающей стороны к гипотенузе. Подставляя значения, получаем: \(8 \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}\) см.

Вторая сторона основания прямоугольного треугольника будет равна \(8 \sin 30^\circ\), так как синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. Подставляя значения, получаем: \(8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см.

Теперь мы знаем стороны основания, поэтому можем перейти к нахождению площади боковой поверхности прямой призмы. Формула для площади боковой поверхности прямой призмы имеет вид: \(S_{\text{бок}} = p \cdot h\), где \(p\) - периметр основания, а \(h\) - высота призмы.

Чтобы найти периметр основания, сложим длины сторон основания: \(p = 2(a + b)\), где \(a\) - первая сторона основания, а \(b\) - вторая сторона основания. В нашем случае: \(p = 2(4\sqrt{3} + 4) = 8\sqrt{3} + 8\) см.

Высота призмы для нас не представлена явно, но у нас есть объем призмы. Мы можем использовать формулу для объема прямой призмы, чтобы найти высоту. Формула для объема прямой призмы имеет вид: \(V = S_{\text{осн}} \cdot h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота призмы.

Известно, что объем призмы равен \(48 \sqrt{3}\) см³, поэтому мы можем записать уравнение: \(48 \sqrt{3} = S_{\text{осн}} \cdot h\).

Теперь найдем площадь основания прямой призмы. Формула для площади основания прямоугольного треугольника имеет вид: \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - стороны основания. Подставляем значения: \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}\) см².

Теперь, имея уравнение \(48 \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot h\), мы можем решить его относительно высоты: \(h = \frac{48 \sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{48}{8} = 6\) см.

Итак, мы нашли периметр основания (\(p = 8\sqrt{3} + 8\) см) и высоту призмы (\(h = 6\) см). Теперь можем найти площадь боковой поверхности прямой призмы, используя формулу \(S_{\text{бок}} = p \cdot h\).

Подставляем значения: \(S_{\text{бок}} = (8\sqrt{3} + 8) \cdot 6 = 48\sqrt{3} + 48\) см².

Ответ: площадь боковой поверхности прямой призмы равна \(48\sqrt{3} + 48\) см².