Каков косинус угла между векторами a=2i-j+2k и b=3i-4k?

Сирень

46

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами a и b, мы можем использовать формулу косинуса. Векторы заданы в координатной форме, поэтому мы можем использовать их координаты для расчетов.

Для начала, давайте вычислим скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение векторов вычисляется как произведение соответствующих координат, сложенное по всем осям.

a • b = (2 * 3) + (-1 * 0) + (2 * -4)
= 6 + 0 - 8
= -2

Теперь нам необходимо найти нормы (длины) каждого из векторов a и b. Норма вектора a обозначается как ‖a‖, а норма вектора b - ‖b‖. Для определения нормы вектора используется формула:

‖a‖ = √(a₁² + a₂² + a₃²)
‖b‖ = √(b₁² + b₂² + b₃²)

Давайте вычислим нормы векторов a и b:

‖a‖ = √(2² + (-1)² + 2²)
= √(4 + 1 + 4)
= √9
= 3

‖b‖ = √(3² + 0² + (-4)²)
= √(9 + 0 + 16)
= √25
= 5

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами a и b, мы можем использовать формулу:

cos θ = (a • b) / (‖a‖ * ‖b‖)

Подставляем вычисленные значения:

cos θ = -2 / (3 * 5)
= -2 / 15

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -2/15.

Обратите внимание, что косинус угла может принимать значения от -1 до 1. Знак косинуса указывает на то, находятся ли векторы в одном направлении (положительное значение) или в противоположных (отрицательное значение). В данном случае, косинус отрицательный, что означает, что векторы a и b направлены в противоположных направлениях.