Какова площадь боковой поверхности прямой призмы, в которую вписан цилиндр с боковой поверхностью 120π см², если

Ледяная_Пустошь

62

Хорошо, давайте решим задачу о площади боковой поверхности прямой призмы.

Для начала, нам нужно определить высоту цилиндра, который вписан в призму. Поскольку боковая поверхность цилиндра составляет 120π см², мы знаем, что площадь боковой поверхности цилиндра равна периметру основания призмы.

Поскольку основание призмы является ромбом с острым углом в 30°, высота ромба будет равна диагонали, проходящей через острый угол. Давайте назовем эту высоту "h".

Чтобы найти высоту "h", мы можем разделить площадь боковой поверхности цилиндра на периметр основания призмы.

Сначала найдем периметр основания призмы. Основание ромба имеет острые углы 30° и 60°. Если мы обозначим длину стороны ромба через "a", то две стороны будут равны "a", а другие две стороны будут равны \(a \times \frac{1}{2}\), так как это половинки диагоналей. Таким образом, периметр основания призмы равен \(2a + 2 \times \frac{a}{2}\), что можно упростить до \(3a\).

Теперь, чтобы найти высоту "h", мы делим площадь боковой поверхности цилиндра на периметр основания призмы:

\[
h = \frac{{120\pi \, \text{см²}}}{{3a}}
\]

Но нам нужно решить "a" в квадрате, чтобы найти боковую поверхность призмы. Мы знаем, что площадь ромба определяется следующей формулой:

\[
\text{Площадь ромба} = a^2 \times \sin(30°)
\]

Поскольку острый угол ромба равен 30°, мы можем заменить \(\sin(30°)\) на \(\frac{1}{2}\):

\[
\text{Площадь ромба} = \frac{a^2}{2}
\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности прямой призмы, используя формулу:

\[
\text{Площадь боковой поверхности прямой призмы} = 3a \times \frac{a^2}{2}
\]

Упростив это, получим:

\[
\text{Площадь боковой поверхности прямой призмы} = \frac{3a^3}{2}
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы равна \(\frac{3a^3}{2}\).

Надеюсь, это решение было понятным для вас! Если у вас возникнут любые дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.