Какова площадь боковой поверхности треугольной пирамиды с прямым углом при вершине 90 градусов и радиусом окружности

Ярослава

55

Для решения данной задачи начнем с построения треугольной пирамиды и определения ее ключевых характеристик. Возьмем пирамиду с прямым углом при вершине A и рассмотрим ее боковую поверхность:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
& & & & & & & & & | & & L & & & | \\
& & & & & R & & & & | & &&| & &| \\
& & & & / & & & \text{ } & & | & & & H& & | \\
& & & / & & & & \text{ } & & |& &&| & &| \\
& & / & & & & & \text{ } & & |& & &| & & |\\
& A &\text{-} &\text{-} &\text{-} &\text{-} &\text{-} &\text{-}&\text{-} &B &\text{-} &\text{-}&\text{-} &\text{-} &\text{-} &C\\
\end{array}
\]

В данной пирамиде A, B и C образуют треугольник, а длины AB, BC и AC являются сторонами этого треугольника.

Дано, что угол при вершине A равен 90 градусов. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным. Поскольку радиус окружности, описанной вокруг боковой грани, является расстоянием от центра окружности до любой точки на границе окружности, он будет равен половине длины гипотенузы треугольника ABC. Обозначим радиус как R.

Для определения длин сторон треугольника ABC воспользуемся известной теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, получаем:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

или

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]

Зная значение длины AC, мы можем найти радиус R, который равен половине этой длины:

\[R = \frac{AC}{2}\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно определить периметр треугольника ABC. Периметр можно найти, сложив длины всех трех сторон:

\[p = AB + BC + AC\]

Затем, используя формулу для площади треугольника, которая определяется по формуле Герона, получаем:

\[S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}\]

где S - площадь треугольника ABC.

Таким образом, площадь боковой поверхности треугольной пирамиды с прямым углом при вершине 90 градусов и радиусом окружности, описанной вокруг его боковой грани, будет равна площади треугольника ABC, которую мы определили по формуле Герона.