Какова площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, которая получается путем рассечения правильной треугольной

Valera

53

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Первым шагом мы должны найти высоту полной пирамиды РАВС, затем найти высоту пирамиды РА1В1С1 и дальше использовать формулу.

Дано, что высота РН равна 8 см. Так как пирамида РАВС является правильной треугольной пирамидой, то высота РВ равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) стороны основания АВ. Следовательно, высота всей пирамиды РАВС равна \(2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12\sqrt{3} = 36\) см.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды РА1В1С1. Согласно условию задачи, точка H1 - это середина высоты РН. Поскольку плоскость проходит через H1 и параллельна основанию АВС, высота пирамиды РА1В1С1 равна половине высоты РН, то есть \(\frac{1}{2} \times 8 = 4\) см.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Формула имеет вид:

\[S = (l_{1} + l_{2}) \times \frac{p}{2}\]

где \(l_{1}\) и \(l_{2}\) - длины двух образующих усеченной пирамиды, а \(p\) - периметр верхней и нижней оснований усеченной пирамиды.

Найдем длины образующих \(l_{1}\) и \(l_{2}\).

Так как пирамида РАВС является правильной треугольной пирамидой, образующие являются радиусами вписанной сферы. Радиус вписанной сферы можно найти, используя формулу радиуса вписанной сферы правильной треугольной пирамиды:

\[r = \frac{h}{3\sqrt{2}}\]

где \(r\) - радиус вписанной сферы, а \(h\) - высота пирамиды. Подставив значения:

\[l_{1} = \frac{36}{3\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}\]
\[l_{2} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\]

Теперь найдем периметр верхней и нижней оснований усеченной пирамиды. Верхним основанием является треугольник А1В1С1, а нижним - треугольник АВС. Поскольку мы знаем сторону основания АВС (\(12\sqrt{3}\)), периметр можно найти, умножив его на 3:

\[p = 3 \times 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\]

Теперь, подставив значения в формулу для площади боковой поверхности, мы получаем:

\[S = (12\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3}) \times \frac{36\sqrt{3}}{2}\]

Для удобства вычислений, объединим числители:

\[S = \frac{(36\sqrt{6} + 4\sqrt{6}) \times 36\sqrt{3}}{2\cdot3}\]

Упростим числитель:

\[S = \frac{40\sqrt{6} \times 36\sqrt{3}}{6}\]

\[S = \frac{1440\sqrt{6}\sqrt{3}}{6}\]

Теперь упростим выражение под знаком корня:

\[S = \frac{1440\sqrt{18}}{6}\]

\[S = \frac{1440 \times 3}{6}\]

\[S = \frac{4320}{6}\]

\[S = 720\]

Итак, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна 720 квадратных сантиметров.