Какова площадь поверхности цилиндра, при этом известно, что цилиндр описан около прямоугольной призмы, основанием

Grigoryevna

13

Для начала разберемся с конструкцией данной призмы и поймем, как она связана с цилиндром.

Из условия задачи мы знаем, что основание призмы - прямоугольный треугольник со сторонами 7 см и 19 см. Пусть эти стороны являются катетами прямоугольного треугольника, а гипотенуза - диагональ прямоугольного треугольника.

Следующая информация из задачи подсказывает, что диагональ прямоугольного треугольника образует угол 45 градусов с плоскостью основания призмы. Это означает, что в плоскости основания мы имеем прямоугольный треугольник с углом 45 градусов между гипотенузой и его одним катетом.

Теперь рассмотрим цилиндр, который описан около данной призмы. Цилиндр описан вокруг призмы, то есть его боковая поверхность касается всех граней призмы. Поэтому высота цилиндра совпадает с высотой призмы.

Таким образом, для нахождения площади поверхности цилиндра нам нужно знать площадь поверхности призмы.

Площадь поверхности призмы вычисляется по формуле: \[P = 2 \cdot (S_1 + S_2 + S_3)\], где \(P\) - площадь поверхности призмы, \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) - площади трёх граней призмы.

Давайте посчитаем площади граней по очереди.

Грань 1: это основание цилиндра, которое является прямоугольным треугольником. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \[S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Таким образом, площадь Грани 1 \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 19\).

Грань 2: это грань призмы, которая является прямоугольным треугольником c катетами 7 см и высотой призмы. Площадь этого треугольника можно вычислить по той же формуле, что и для Грани 1.

Таким образом, площадь Грани 2 \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h\), где \(h\) - высота призмы.

Грань 3: это грань призмы, являющаяся прямоугольным треугольником c катетами 19 см и высотой призмы. Опять же, площадь этого треугольника можно вычислить по той же формуле.

Таким образом, площадь Грани 3 \(S_3 = \frac{1}{2} \cdot 19 \cdot h\).

Теперь, когда у нас есть площади трех граней призмы, можем подставить их в формулу для нахождения площади поверхности призмы:

\[P = 2 \cdot (S_1 + S_2 + S_3)\]

\[P = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 19 + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h + \frac{1}{2} \cdot 19 \cdot h)\]

Сокращаем выражение:

\[P = 7 \cdot 19 + 7 \cdot h + 19 \cdot h\]

\[P = 133 + 7h + 19h\]

\[P = 133 + 26h\]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра, который описан около данной призмы, равна \(133 + 26h\), где \(h\) - высота призмы.