Какова площадь четырехугольника ABCD, если его стороны имеют следующие длины: AB = 10 дм, BC = 8 дм, CD = 4 дм, и

Скользкий_Барон

26

Постепенное решение:
1. Для начала, нам нужно понять, как выглядит данный четырехугольник ABCD.

2. Зная длины сторон AB, BC, CD и отношение AD к BC, мы можем построить следующую диаграмму:

A ------------ B
\ /
\ /
\ /
\ /
C
|
|
D

3. Для решения этой задачи, мы можем использовать два способа. Первый способ основан на формуле площади треугольника и второй способ - использование произведения базы и высоты призмы ABCD.

4. Первый способ: Разобьем четырехугольник ABCD на два треугольника - ABC и ACD.

5. Используя формулу площади треугольника, мы можем вычислить площадь каждого треугольника. Формула для вычисления площади треугольника ABC выглядит следующим образом:

\[Площадь_{ABC} = \frac{{AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)}}{2}\]

где \(\sin(\angle ABC)\) - синус угла ABC.

6. По условию, сторона AB равна 10 дм и сторона BC равна 8 дм. Также, нам нужно найти угол \(\angle ABC\). Для этого мы можем использовать соотношение сторон AD и BC, которое составляет 4. Для нашего треугольника это означает, что \(AD = 4 \cdot BC\), что равносильно \(AD = 4 \cdot 8 = 32\) дм.

7. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ACD. Сторона CD равна 4 дм, а сторона AD равна 32 дм. Мы можем использовать ту же формулу, чтобы найти площадь треугольника ACD.

\[Площадь_{ACD} = \frac{{AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ACD)}}{2}\]

Мы знаем, что сторона AD равна 32 дм. Теперь нам нужно найти угол \(\angle ACD\). Сначала мы находим угол \(\angle ABC\) с помощью тригонометрических отношений:

\(\angle ABC = \arcsin\left(\frac{{AD}}{{BC}}\right) = \arcsin\left(\frac{{32}}{{8}}\right) = \arcsin(4)\) (радианы)

Затем мы находим угол \(\angle ACD\) с использованием свойства противоположных углов треугольника:

\(\angle ACD = \pi - \angle ABC\)

8. Теперь у нас есть все данные, чтобы вычислить площади треугольников ABC и ACD. Подставляем значения в формулу и делаем вычисления:

\[Площадь_{ABC} = \frac{{10 \cdot 8 \cdot \sin(\arcsin(4))}}{2} = 40 \, дм^2\]

\[Площадь_{ACD} = \frac{{32 \cdot 4 \cdot \sin(\pi - \arcsin(4))}}{2} = 32 \, дм^2\]

9. Теперь нам нужно сложить площади треугольников ABC и ACD, чтобы получить общую площадь четырехугольника ABCD:

\[Площадь_{ABCD} = Площадь_{ABC} + Площадь_{ACD} = 40 \, дм^2 + 32 \, дм^2 = 72 \, дм^2\]

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 72 \(дм^2\).