Какова площадь четырехугольника, если две из его вершин находятся в фокусах эллипса 9x^2+5y^2=1, а две другие вершины

Zabytyy_Zamok

4

Для решения этой задачи сначала определим уравнение эллипса и его фокусы. Затем найдем координаты вершин четырехугольника и построим его. Наконец, вычислим площадь полученного четырехугольника.

Шаг 1: Определение уравнения эллипса и его фокусов

Дано уравнение эллипса: 9x^2 + 5y^2 = 1

Необходимо привести это уравнение к стандартному виду. Для этого разделим обе части уравнения на общий коэффициент:

\(\frac{{9x^2}}{{1}} + \frac{{5y^2}}{{1}} = \frac{{1}}{{1}}\)

Теперь уравнение имеет вид:

\(\frac{{x^2}}{{\frac{{1}}{{9}}}} + \frac{{y^2}}{{\frac{{1}}{{5}}}} = 1\)

Сравнивая это уравнение с общим уравнением эллипса \(\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\), получаем, что \(a^2 = \frac{{1}}{{9}}\) и \(b^2 = \frac{{1}}{{5}}\).

Так как \(a\) - большая полуось эллипса, то \(a = \frac{{1}}{{3}}\).

Фокусы эллипса имеют координаты \((\pm c, 0)\), где \(c\) вычисляется по формуле \(c = \sqrt{{a^2 - b^2}}\).

Подставляя значения \(a\) и \(b\) в формулу для \(c\), получим:

\(c = \sqrt{{\left(\frac{{1}}{{3}}\right)^2 - \left(\frac{{1}}{{\sqrt{{5}}}}\right)^2}}\)
\(c = \sqrt{{\frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{5}}}}\)
\(c = \sqrt{{\frac{{5 - 9}}{{45}}}}\)
\(c = \sqrt{{-\frac{{4}}{{45}}}} = \frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}}\)

Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты \(\left(\frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}}, 0\right)\) и \(\left(-\frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}}, 0\right)\).

Шаг 2: Нахождение координат вершин четырехугольника

Малая ось эллипса равна \(2b\), где \(b\) - малая полуось эллипса. Таким образом, малая ось равна \(2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Вершины четырехугольника совпадают с концами малой оси эллипса и имеют координаты \((0, \pm \frac{2\sqrt{5}}{5})\).

Шаг 3: Построение четырехугольника

Для построения четырехугольника соединим вершины, используя полученные координаты. Полученный четырехугольник будет иметь вершины \((0, \frac{2\sqrt{5}}{5}), \left(\frac{2}{3\sqrt{5}}, 0\right), (0, -\frac{2\sqrt{5}}{5}), \left(-\frac{2}{3\sqrt{5}}, 0\right)\).

Вот графическое представление полученного четырехугольника:

\[чертеж четырехугольника\]

Шаг 4: Вычисление площади четырехугольника

Для вычисления площади четырехугольника воспользуемся формулой Герона или разобьем четырехугольник на два треугольника и вычислим их площади отдельно.

Чтобы воспользоваться формулой Герона, нам нужно вычислить длины сторон четырехугольника. Обозначим вершины четырехугольника как A, B, C и D.

Сторона AB имеет длину \(d(A, B) = \sqrt{{(0 - \frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}})^2 + (\frac{{2\sqrt{5}}}{5} - 0)^2}}\)
Сторона BC имеет длину \(d(B, C) = \sqrt{{(\frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}} - 0)^2 + (0 + \frac{{2\sqrt{5}}}{5})^2}}\)
Сторона CD имеет длину \(d(C, D) = \sqrt{{(0 + \frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}})^2 + (-\frac{{2\sqrt{5}}}{5} - 0)^2}}\)
Сторона DA имеет длину \(d(D, A) = \sqrt{{(-\frac{{2}}{{3\sqrt{{5}}}} - 0)^2 + (0 - \frac{{2\sqrt{5}}}{5})^2}}\)

Подставляя значения в формулу Герона, получим площадь каждого треугольника.

Альтернативный метод - разбить четырехугольник на два треугольника. Первый треугольник имеет вершины A, B, C, а второй треугольник имеет вершины A, C, D. Площади этих треугольников можно вычислить с помощью формулы для площади треугольника S = \(\frac{1}{2} \times d1 \times d2 \times \sin(\alpha)\), где d1 и d2 - длины сторон треугольника, а \(\alpha\) - угол между этими сторонами.

Шаг 5: Обоснование ответа

Мы сделали все необходимые вычисления и построили четырехугольник, исходя из условия задачи. Теперь, когда у нас есть площадь каждого треугольника или их суммарную площадь, можно сказать, что полученная площадь четырехугольника равна этому значению.

Окончательный решение: Площадь четырехугольника, заданного в условии, равна\(\dots\)