1. Найти все углы, образовавшиеся при пересечении секущей с углом, где ∠1-∠2 = 102° (рис. 3.173). 2. Найти значение

Сладкий_Пират

14

Задача 1.

На рисунке изображен угол, обозначенный символами ∠1 и ∠2, и секущая линия, которая пересекает данный угол. Задача состоит в том, чтобы найти все углы, образовавшиеся при пересечении секущей с данным углом, если известно, что разность между углом ∠1 и углом ∠2 составляет 102°.

Первым шагом давайте обратимся к геометрическим свойствам углов при пересечении секущей линии.

1) Сумма смежных углов при пересечении секущей линии равна 180°. Это означает, что сумма углов ∠1 и ∠3 составляет 180°, и сумма углов ∠2 и ∠4 также равна 180°.

2) Углы ∠1 и ∠2 образуют вертикальную пару углов. Вертикальные углы равны друг другу, поэтому ∠1 = ∠2.

Теперь применим найденные свойства для решения задачи.

1) Из условия ∠1 - ∠2 = 102° мы знаем, что ∠1 = ∠2 + 102°. С учетом того, что ∠1 = ∠2, можем записать ∠2 + 102° - ∠2 = 102°.

2) Сумма углов ∠1 и ∠3 составляет 180°, поэтому ∠1 + ∠3 = 180°. Если ∠1 = ∠2, то ∠2 + ∠3 = 180°.

3) Подставим найденное значение ∠1 = ∠2 + 102° (из первого пункта) во второе уравнение: (∠2 + 102°) + ∠3 = 180°.

4) Теперь решим это уравнение относительно ∠2 и ∠3. (∠2 + ∠3) + 102° = 180°.

Раскроем скобки: ∠2 + ∠3 + 102° = 180°.

Перенесем 102° на другую сторону: ∠2 + ∠3 = 180° - 102°.

Упростим выражение: ∠2 + ∠3 = 78°.

В задаче нам не дается дополнительная информация о значении конкретных углов, поэтому мы не сможем найти точные значения углов ∠2 и ∠3. Но мы знаем, что их сумма равна 78°.

Ответ: Сумма углов, образовавшихся при пересечении секущей линии с данным углом, равна 78°.

Задача 2.

На рисунке изображены углы, обозначенные символами ∠1, ∠2 и ∠3, и требуется найти значение угла ∠4, если ∠1 = ∠2 и ∠3 = 140°.

По условию задачи ∠1 = ∠2. Значит, углы ∠1 и ∠2 являются равными.

Также известно, что ∠3 = 140°.

Теперь, чтобы найти значение угла ∠4, обратимся к геометрическим свойствам прямых линий и углов.

1) Углы на прямой линии (так называемые смежные углы) в сумме составляют 180°. То есть ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

2) Мы знаем, что ∠1 = ∠2, поэтому ∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°.

3) Подставим известные значения в уравнение: ∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°.

4) Заменим ∠1 на ∠2, поскольку они равны: ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

5) Подставим значения: ∠2 + 140° + ∠4 = 180°.

6) Чтобы найти значение угла ∠4, перенесем все известные значения на другую сторону: ∠4 = 180° - ∠2 - 140°.

7) Ответ: ∠4 = 40°.

Задача 3.

В данной задаче нам требуется найти значения углов треугольника AKN, при условии, что отрезок AK является биссектрисой треугольника САЕ, прямая, проходящая через точку К и параллельная стороне СА, пересекает сторону АЕ в точке N, а ∠CAE = 78°.

Решение этой задачи требует знания геометрических свойств биссектрисы и параллельных линий.

1) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на две отрезка, пропорциональных друг другу. Заметим, что отрезок KN является продолжением отрезка AK, и они имеют общую точку K.

2) Поскольку отрезок KN является продолжением отрезка AK, можно сделать вывод, что отношение длины отрезка AN к длине отрезка AE равно отношению длины отрезка KN к длине отрезка KE.

3) По определению биссектрисы, отношение длины отрезка AN к длине отрезка AE равно отношению длины отрезка CK к длине отрезка KE.

4) Так как прямая, проходящая через точку К и параллельная стороне СА, пересекает сторону АЕ в точке N, то угол ∠ANK = ∠CAE.

5) По условию ∠CAE = 78°, следовательно, ∠ANK = 78°.

6) Угол ∠KNA равен сумме углов ∠CAE и ∠ANK, т.е. ∠KNA = ∠CAE + ∠ANK = 78° + 78° = 156°.

7) Сумма углов треугольника AKN равна 180°. Учитывая, что ∠KNA = 156°, мы можем найти значение оставшегося угла ∠AKN: ∠AKN = 180° - ∠KNA = 180° - 156° = 24°.

Ответ: Значение угла ∠AKN равно 24°. Остальные значения углов треугольника AKN уже найдены: ∠ANK = 78° и ∠KNA = 156°.