Какова площадь четырехугольника с вершинами (2, 4), (3, 1), (4, 7) и (5, 3)? Объясните свои действия

Веселый_Смех

16

Чтобы найти площадь четырехугольника с заданными вершинами, мы можем использовать метод площади Гаусса. Этот метод основан на использовании координатных плоскостей и нахождении площади треугольников, образованных четырехугольником.

Шаг 1: Начнем с отрисовки заданного четырехугольника на координатной плоскости. Запишем координаты вершин: A(2, 4), B(3, 1), C(4, 7) и D(5, 3).

Шаг 2: Проведем диагонали четырехугольника. Диагонали AC и BD разделяют четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA.

\[
\begin{array}{c}
A(2,4) \quad B(3,1) \\
\downarrow \\
C(4,7) \quad D(5,3) \\
\end{array}
\]

Шаг 3: Найдем площадь первого треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу площади треугольника, которая основана на координатах его вершин. Площадь треугольника ABC равна половине модуля определителя матрицы, составленной из координат вершин треугольника.

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|
\]

Подставим координаты вершин треугольника ABC:

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|
\]

Раскроем определитель:

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} [(2 \cdot 1 \cdot 7) + (3 \cdot 7 \cdot 1) + (4 \cdot 4 \cdot 1) - (4 \cdot 1 \cdot 1) - (3 \cdot 4 \cdot 1) - (2 \cdot 7 \cdot 1)]
\]

Упростим выражение:

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} [14 + 21 + 16 - 4 - 12 - 14]
\]

Посчитаем:

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} [31]
\]

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{31}{2}
\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\frac{31}{2}\).

Шаг 4: Повторим те же шаги для треугольника CDA, чтобы найти его площадь. Подставим координаты вершин треугольника CDA в формулу площади:

\[
S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_C & x_D & x_A \\ y_C & y_D & y_A \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|
\]

\[
S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} 4 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|
\]

Раскроем определитель:

\[
S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} [(4 \cdot 3 \cdot 1) + (5 \cdot 4 \cdot 1) + (2 \cdot 7 \cdot 1) - (2 \cdot 3 \cdot 1) - (4 \cdot 4 \cdot 1) - (5 \cdot 7 \cdot 1)]
\]

Упростим выражение:

\[
S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} [12 + 20 + 14 - 6 - 16 - 35]
\]

Посчитаем:

\[
S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} [(-1)]
\]

\[
S_{\triangle CDA} = -\frac{1}{2}
\]

Таким образом, площадь треугольника CDA равна \(-\frac{1}{2}\).

Шаг 5: Наконец, чтобы найти площадь четырехугольника, мы должны сложить площади обоих треугольников:

\[
S_{\text{четырехугольника}} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = \frac{31}{2} - \frac{1}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]

Поэтому площадь четырехугольника с вершинами (2, 4), (3, 1), (4, 7) и (5, 3) равна 15.