Какова площадь фигур, ограниченных следующими границами: уравнение х - 2у + 4 = 0, уравнение х + 2у - 8 = 0, у = 0

Анатолий

51

Чтобы найти площадь фигур, ограниченных данными границами, нам необходимо определить точки пересечения этих границ. Затем мы сможем построить контур фигур и вычислить площадь, используя метод интегрирования.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения границ между собой. Для этого мы будем решать систему уравнений, состоящую из уравнений первой и второй границы.

Система уравнений выглядит следующим образом:
\[
\begin{cases}
x - 2y + 4 = 0 \\
x + 2y - 8 = 0
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему с помощью метода сложения или вычитания уравнений. Если мы вычтем второе уравнение из первого, получим:
\[
(x - 2y + 4) - (x + 2y - 8) = 0
\]

Упростив это уравнение, мы получим:
\[
-4y + 12 = 0
\]

Перенесем -4y на другую сторону и получим:
\[
-4y = -12 \implies y = \frac{12}{4} \implies y = 3
\]

Теперь мы можем найти x, подставив значение y в любое из исходных уравнений. Давайте возьмем первое уравнение:
\[
x - 2(3) + 4 = 0 \implies x - 6 + 4 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2
\]

Итак, точка пересечения этих двух границ имеет координаты (2, 3).

Теперь мы можем перейти к нахождению площади, ограниченной данными границами. Для этого давайте построим контур фигур и разделим его на две части - прямоугольник и треугольник.

Прямоугольник определяется у = 0 и горизонтальными сторонами границы (х - 2у + 4 = 0 и х + 2у - 8 = 0). Чтобы найти его площадь, мы должны вычислить разность между значениями x в точках пересечения и шириной прямоугольника, которая равна разности между значениями x в точках пересечения.

Ширина прямоугольника: \(\Delta x = x_{\text{правая}} - x_{\text{левая}}\)
Ширина прямоугольника: \(x_{\text{правая}} = 2\), \(x_{\text{левая}} = 0\)
Ширина прямоугольника: \(\Delta x = 2 - 0 = 2\)

Площадь прямоугольника: \(S_{\text{прямоугольника}} = \Delta x \cdot y\)
Площадь прямоугольника: \(S_{\text{прямоугольника}} = 2 \cdot 3 = 6\)

Теперь давайте найдем площадь треугольника. Он образован границей у = 0 и диагональю фигуры.

Для нахождения площади треугольника, нам нужно знать его высоту и основание. Высота треугольника это y-координата точки пересечения, то есть 3. Основание это расстояние между точками пересечения границы (х - 2у + 4 = 0) и (х + 2у - 8 = 0).

Основание треугольника: \(\Delta x = x_{\text{правая}} - x_{\text{левая}}\)
Основание треугольника: \(x_{\text{правая}} = 2\), \(x_{\text{левая}} = 0\)
Основание треугольника: \(\Delta x = 2 - 0 = 2\)

Площадь треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{{\text{основание}} \cdot \text{высота}}{2}\)
Площадь треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\)

Теперь мы можем найти общую площадь фигур, ограниченных данными границами, путем сложения площади прямоугольника и треугольника:
Общая площадь фигур: \(S_{\text{общая}} = S_{\text{прямоугольника}} + S_{\text{треугольника}}\)
Общая площадь фигур: \(S_{\text{общая}} = 6 + 3 = 9\)

Итак, площадь фигур, ограниченных данными границами со значениями (х - 2у + 4 = 0, х + 2у - 8 = 0, у = 0), равна 9.