а) Определить область, где функция определена; б) Определить диапазон значений функции; в) Определить интервалы

Веселый_Пират

6

Решение:

1. Дана функция \(f(x) = x^2 - 10x\). Выполним следующие шаги по анализу этой функции:

а) Область, где функция определена, это все действительные числа, так как выражение \(x^2 - 10x\) определено для любого действительного значения \(x\).

б) Диапазон значений функции можно определить, решив уравнение \(y = x^2 - 10x\) относительно переменной \(x\). Однако, можно заметить, что данная функция является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх. Это означает, что значение функции будет неограниченно возрастать по мере увеличения \(x\), то есть диапазон значений функции - все положительные числа или \([0, +\infty)\).

в) Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает, найдем точки экстремума функции. Для этого возьмем первую производную функции и найдем значения \(x\) при которых она равна нулю:

\(\frac{{df}}{{dx}} = 2x - 10 = 0\)

Таким образом, точка экстремума находится при \(x = 5\). Тогда интервалы, на которых функция возрастает, это \((-\infty, 5)\).

г) Аналогично, чтобы найти интервалы, на которых функция убывает, найдем интервалы, на которых \(x\) принимает значения больше 5. Это интервал \((5, +\infty)\).

д) Чтобы найти корни функции, решим уравнение \(x^2 - 10x = 0\). Факторизуем его, выделив общий множитель:

\(x(x - 10) = 0\)

Таким образом, корни функции \(f(x) = x^2 - 10x\) равны 0 и 10.

е) Интервалы, на которых функция принимает положительные значения, это интервалы, где \(f(x) > 0\). Мы можем разбить число 0 на интервалы, чтобы получить положительное значение функции:

\((-∞, 0)\) и \((10, +∞)\).

ж) Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения, это интервалы, где \(f(x) < 0\). Здесь интервалы между 0 и 10:

\( (0, 10) \).

з) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, можно посмотреть на ее график или воспользоваться знанием, что функция \(f(x) = x^2 - 10x\) является параболой с ветвями, направленными вверх. Как мы уже определили, диапазон значений функции - все положительные числа или \([0, +∞)\), таким образом наибольшее значение функции - это плюс бесконечность, а наименьшее значение - это 0.

2. Для функции \(f(x) = x^2 - 10x\) найдем значения \(f(5)\), \(f(-2)\) и \(f(0)\):

\(f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 = 25 - 50 = -25\)

\(f(-2) = (-2)^2 - 10 \cdot (-2) = 4 + 20 = 24\)

\(f(0) = 0^2 - 10 \cdot 0 = 0\)

Таким образом, \(f(5) = -25\), \(f(-2) = 24\) и \(f(0) = 0\).

3. Чтобы найти корни функции для данных уравнений:

а) \(y = -0.4x + 32\)

\(y = 0\) при \(x = \frac{{32}}{{0.4}} = 80\)

б) \(y = 9x(x - 5)\)

Раскладываем это уравнение на множители:

\(9x(x - 5) = 0\)

Таким образом, корни для этого уравнения равны 0 и 5.

в) \(y = \sqrt{x^2}\)

Функция \(\sqrt{x^2}\) представляет собой модуль \(|x|\), что означает, что она всегда будет положительной или равной нулю. Поэтому корнями нет.

Итак, корни для данных уравнений: а) \(x = 80\), б) \(x = 0\) и \(x = 5\), в) нет корней.