Какова площадь фигуры, ограниченной кривыми у=-6х-х^2 и у=-2х?

Yastreb_3218

63

Для решения этой задачи нам необходимо найти точки пересечения двух кривых и вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения двух кривых и решим получившееся уравнение:

\(-6x-x^2 = -2x\)

Шаг 2: Приведем уравнение квадратного трехчлена к каноническому виду, чтобы решить его:

\(-6x-x^2 + 2x = 0\) (сложим и вынесем общий множитель)

\(-x^2 - 4x = 0\) (упростим уравнение)

\(x(x+4) = 0\) (факторизуем)

Получили два возможных значения для х: x = 0 и x = -4.

Шаг 3: Найдем соответствующие значения y для каждого значения x, подставив их в любое из исходных уравнений:

Для x = 0:

у = -2 * 0 = 0

Точка пересечения: (0, 0)

Для x = -4:

у = -2 * (-4) = 8

Точка пересечения: (-4, 8)

Шаг 4: Теперь, когда мы знаем точки пересечения, мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. В данном случае это будет площадь между кривыми и осью x.

Обратите внимание, что у = -6x - x^2 находится выше у = -2x в пределах данного интервала, поэтому оставим только первую кривую в решении.

Для вычисления площади используем определенный интеграл:

\[S = \int_{a}^{b}(-6x - x^2)dx\]

где a и b - значения x, соответствующие точкам пересечения, найденным ранее.

Шаг 5: Выполним интегрирование:

\[S = \int_{-4}^{0}(-6x - x^2)dx = \left[-3x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{-4}^{0}\]

Подставляем верхнюю и нижнюю границы интегрирования и вычисляем:

\[S = -3(0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3 - \left(-3(-4)^2 - \frac{1}{3}(-4)^3\right)\]

\[S = 0 - 0 + \left(-3(16) - \frac{1}{3}(-64)\right)\]

\[S = 0 - 0 + (-48 + \frac{64}{3})\]

\[S = \frac{64}{3} - 48\]

\[S = -\frac{144}{3}\]

\[S = -48\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми у=-6х-х^2 и у=-2х, равна -48. Обратите внимание, что это отрицательное значение площади означает, что фигура находится ниже оси x.