Какова площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x^2, y=0, x=3, x=0, если мы предварительно нарисуем рисунок? Пожалуйста

Markiz

70

Хорошо, для начала давайте посмотрим, как выглядят данные кривые и границы фигуры на графике.

Кривая \(y=2x^2\) представляет собой параболу, открытую вверх, с вершиной в точке (0, 0). Она проходит через точки (1, 2) и (-1, 2).

Границы фигуры - это оси координат и прямые \(y=0\) и \(x=3\). Прямая \(y=0\) является горизонтальной осью x и проходит через ось координат. Прямая \(x=3\) является вертикальной линией и также проходит через ось координат.

Теперь давайте определим, какие области ограничены этими кривыми и границами.

Мы видим, что парабола \(y=2x^2\) ограничена снизу горизонтальной осью x (y=0) и слева до вертикальной линии \(x=3\). Положительная часть параболы лежит между этими границами.

Следовательно, фигура, ограниченная кривыми \(y=2x^2\), границами \(y=0\), \(x=3\) и осью координат, имеет вид параболы, ограниченной этими линиями и заполненной положительной частью параболы.

Теперь давайте рассчитаем площадь этой фигуры.

Чтобы найти площадь, нам нужно найти определенный интеграл функции \(y=2x^2\) от \(x=0\) до \(x=3\). Формула для вычисления площади под кривой через определенный интеграл, когда функция лежит выше оси x, выглядит следующим образом:

\[Площадь = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

В данном случае, наша функция \(f(x) = 2x^2\), а границы интегрирования \(a=0\) и \(b=3\).

Теперь найдем площадь, вычислив этот определенный интеграл.

\[
Площадь = \int_{0}^{3} 2x^2 dx
\]

\[
Площадь = \left[\frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{3}
\]

\[
Площадь = \frac{2}{3} \cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 0^3
\]

\[
Площадь = \frac{2}{3} \cdot 27 - 0 = \frac{54}{3} = 18
\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y=2x^2\), \(y=0\), \(x=3\) и \(x=0\), равна 18 квадратных единиц.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти площадь этой фигуры. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!