Какова площадь фигуры, ограниченной осью x и графиком функции f(x)=2x-x^2?

Михаил

7

Хорошо, давайте решим задачу!

Для определения площади фигуры, ограниченной осью x и графиком функции \(f(x) = 2x - x^2\), мы будем использовать метод интегрирования.

В данном случае, чтобы найти площадь фигуры между функцией и осью \(x\), мы должны найти определенный интеграл функции \(f(x)\) в заданном интервале.

Первым шагом является нахождение точек пересечения графика функции с осью \(x\). Чтобы найти эти точки, мы приравняем \(f(x)\) к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

\[2x - x^2 = 0\]

Факторизуя это квадратное уравнение, мы получим:

\[x(2 - x) = 0\]

Из этого выражения следует, что \(x = 0\) или \(x = 2\).

Теперь мы знаем, что фигура между функцией и осью \(x\) ограничена интервалами \(x = 0\) и \(x = 2\).

Чтобы найти площадь фигуры, мы возьмем определенный интеграл функции \(f(x)\) от \(x = 0\) до \(x = 2\):

\[S = \int_{0}^{2} f(x) \, dx\]

Теперь, чтобы решить этот интеграл, нам нужно найти антипроизводную функции \(f(x)\).

Для функции \(f(x) = 2x - x^2\) мы можем использовать правила интегрирования для нахождения антипроизводной:

\[
\int f(x) \, dx = \int (2x - x^2) \, dx
\]

Вычисляем каждый член этой функции по отдельности:

\[
\int 2x \, dx = x^2 + C_1
\]

\[
\int -x^2 \, dx = -\frac{1}{3}x^3 + C_2
\]

Где \( C_1 \) и \( C_2 \) - это константы интегрирования.

Теперь находим антипроизводную \( f(x) \):

\[
\int f(x) \, dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C
\]

Где \( C \) - это общая константа интегрирования.

Теперь мы можем продолжить вычисления интеграла:

\[
S = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2}
\]

Подставляем верхний и нижний пределы:

\[
S = \left( 2^2 - \frac{1}{3}2^3 \right) - \left(0^2 - \frac{1}{3}0^3\right)
\]

\[
S = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0)
\]

\[
S = \frac{12}{3} - 0
\]

\[
S = \frac{12}{3} = 4
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью \(x\) и графиком функции \(f(x) = 2x - x^2\), равна 4.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти площадь такой фигуры! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!