Какова площадь и периметр равнобедренного треугольника АВС, если длина основания АВ равна √3 и угол при основании равен

Ariana

67

Чтобы найти площадь и периметр равнобедренного треугольника, нам понадобятся некоторые свойства и формулы. Начнем с определения равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны.

У нас дано, что АВ - это основание треугольника и его длина равна \(\sqrt{3}\). Также нам известно, что угол при основании (угол между боковыми сторонами) равен 30°.

Используя данную информацию, мы можем найти боковые стороны треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный, боковые стороны (AC и BC) должны быть одинаковыми. Давайте обозначим длину боковой стороны как х.

Теперь мы можем приступить к решению:

1. Используя геометрию треугольника, мы знаем, что сумма углов треугольника равняется 180°. Поскольку угол при основании равен 30°, сумма двух углов при вершинах А и В равна 180° - 30° - 30°, то есть 120°.

2. Так как треугольник равнобедренный, у нас есть две равные стороны - AC и BC. Давайте обозначим длину каждой из них как х.

3. Мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти длину боковой стороны х:

В соответствии с теоремой синусов:
\(\frac{{AC}}{{\sin(\angle A)}} = \frac{{AB}}{{\sin(\angle C)}}\)

В нашем случае:
\(\frac{{x}}{{\sin(30°)}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{\sin(120°)}}\)

Опустим обоснование, но решив данное равенство, мы получим:
\(x = \sqrt{3}\)

4. Мы нашли длину боковой стороны х, она также равна \(\sqrt{3}\).

Теперь у нас есть все измерения для нашего треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:
\[Площадь = \frac{{Основание \times Высота}}{2}\]

Мы знаем, что длина основания АВ равна \(\sqrt{3}\). Значение высоты треугольника мы можем найти, используя теорему Пифагора. Если мы разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, то одно из их катетов будет высотой треугольника.

5. Давайте найдем высоту треугольника.

Обозначим высоту как h.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:
\(AC^2 = AB^2 - h^2\)

Подставим известные значения:
\(3 = (\sqrt{3})^2 - h^2\)
\(3 = 3 - h^2\)
\(h^2 = 0\)

Отсюда мы видим, что высота h равна 0. Таким образом, площадь треугольника также будет равна 0.

6. Для нахождения периметра треугольника нам необходимо сложить длины всех трех сторон:
\(Периметр = AB + AC + BC\)
\(Периметр = \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3}\)
\(Периметр = 3\sqrt{3}\)

Таким образом, площадь треугольника равна 0, а периметр равен \(3\sqrt{3}\).