Какова площадь круга с радиусом, равным сумме радиусов двух даных кругов, если площади этих кругов равны 8

Laska

61

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Пусть \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы данных кругов.
2. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\).
3. Из условия задачи известно, что \(S_1 = 8\) и \(S_2 = 8\) - площади данных кругов.
4. Нам также известно, что радиусы двух данных кругов равны и их сумма равна радиусу искомого круга.
5. Поэтому, радиус искомого круга можно обозначить как \(r = r_1 + r_2\).
6. Далее, чтобы найти площадь круга с радиусом \(r\), нужно подставить значение радиуса в формулу площади круга: \(S = \pi r^2\).
7. Заменяем \(r\) в формуле площади круга на \(r_1 + r_2\): \(S = \pi (r_1 + r_2)^2\).
8. Раскрываем скобки: \(S = \pi (r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)\).
9. Далее, используем условие задачи, при котором \(S_1 = 8\) и \(S_2 = 8\), чтобы получить уравнение, которое связывает \(r_1\) и \(r_2\).
- Для первого круга: \(S_1 = \pi r_1^2 = 8\).
- Для второго круга: \(S_2 = \pi r_2^2 = 8\).
10. Теперь мы можем использовать это уравнение, чтобы выразить \(r_1^2\) и \(r_2^2\) через \(8/\pi\).
- Для первого круга: \(r_1^2 = \frac{8}{\pi}\).
- Для второго круга: \(r_2^2 = \frac{8}{\pi}\).
11. Заменяем \(r_1^2\) и \(r_2^2\) в формуле площади круга: \(S = \pi (\frac{8}{\pi} + 2r_1r_2 + \frac{8}{\pi})\).
12. Упрощаем выражение: \(S = 2(r_1r_2 + \frac{8}{\pi})\).
13. Заменяем \(r_1r_2\) в выражении на \(\frac{1}{2}(r_1 + r_2)^2 - \frac{1}{2}(r_1^2 + r_2^2)\), используя формулу суммы двух квадратов.
- \(r_1r_2 = \frac{1}{2}(r_1 + r_2)^2 - \frac{1}{2}(r_1^2 + r_2^2)\).
14. Подставляем это обратно в формулу для площади круга: \(S = 2(\frac{1}{2}(r_1 + r_2)^2 - \frac{1}{2}(r_1^2 + r_2^2) + \frac{8}{\pi})\).
15. Упрощаем выражение: \(S = (r_1 + r_2)^2 - (r_1^2 + r_2^2) + \frac{16}{\pi}\).
16. Подставляем значения из условия задачи: \(S = (r_1 + r_2)^2 - (\frac{8}{\pi} + \frac{8}{\pi}) + \frac{16}{\pi}\).
17. Теперь заменяем \(r_1 + r_2\) на \(r\): \(S = r^2 - 2\frac{8}{\pi} + \frac{16}{\pi}\).
18. Далее, заменяем \(r\) на \(r_1 + r_2\): \(S = (r_1 + r_2)^2 - 2\frac{8}{\pi} + \frac{16}{\pi}\).
19. Мы знаем, что площадь круга \(S = 8\), поэтому: \(8 = (r_1 + r_2)^2 - 2\frac{8}{\pi} + \frac{16}{\pi}\).
20. Решаем это уравнение относительно \((r_1 + r_2)^2\) и находим \((r_1 + r_2)^2 = 2\frac{8}{\pi}\).
21. Извлекаем корень из обоих сторон уравнения: \(r_1 + r_2 = \sqrt{2\frac{8}{\pi}}\).
22. Теперь мы знаем, что радиус искомого круга равен \(\sqrt{2\frac{8}{\pi}}\), поэтому мы можем легко вычислить его площадь.
23. Подставляем значение радиуса в формулу площади круга: \(S = \pi (\sqrt{2\frac{8}{\pi}})^2\).
24. Упрощаем выражение: \(S = \pi (2\frac{8}{\pi}) = 16\).

Ответ: Площадь круга с радиусом, равным сумме радиусов двух данных кругов, при условии, что площади этих кругов равны 8, равна 16.