Какова площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если боковая сторона трапеции разделена точкой касания

Antonovna

3

Итак, чтобы найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, нам понадобится использовать некоторые свойства этой фигуры.

Первое, что нам следует заметить, это то, что если из центра вписанного круга мы проведем радиус до точки касания окружности с боковой стороной, то это будет являться высотой трапеции. Обозначим эту высоту буквой \(h\).

Также в равнобедренной трапеции основания равны, поэтому мы можем обозначить длину одного основания как \(a\) и другого - как \(b\).

Теперь мы можем начать решение задачи.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания трапеции, высотой \(h\) и радиусом (половиной диаметра) вписанного круга. Данный треугольник представляет собой треугольник с прямым углом.

2. По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника, справедливо следующее соотношение:
\[ \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 = r^2 \]
где \(r\) - радиус вписанного круга.

3. Так как треугольник равнобедренный, то основание трапеции можно представить как сумму двух равных отрезков, поэтому \(a = b + 2x\), где \(x\) - половина отрезка, на который боковая сторона трапеции разделена точкой касания вписанной окружности.

4. Мы знаем, что данная боковая сторона трапеции имеет длину 6 см, поэтому \(2x = 6\) и \(x = 3\).

5. Подставив значение \(x\) в уравнение для \(a\), получим \(a = b + 2 \cdot 3 = b + 6\).

6. Заменим \(a\) в уравнении для \(r^2\) из пункта 2 на \(b + 6\):
\[ \left(\frac{b+6-b}{2}\right)^2 + h^2 = r^2 \].

7. Упростим уравнение:
\[ 3^2 + h^2 = r^2 \].

8. Благодаря тому, что треугольник прямоугольный, в нем можно применить теорему Пифагора. Так как мы знаем, что диаметр равнобедренной трапеции равен \(6 + 6 = 12\) (так как \(2x = 6\)), то радиус \(r\) равен половине диаметра: \(r = \frac{12}{2} = 6\).

9. Подставим значение радиуса в уравнение:
\[ 3^2 + h^2 = 6^2 \].

10. Решим полученное уравнение:
\[ 9 + h^2 = 36 \].
\[ h^2 = 36 - 9 \].
\[ h^2 = 27 \].
\[ h = \sqrt{27} \].
\[ h = 3\sqrt{3} \].

Итак, мы нашли высоту равнобедренной трапеции: \(h = 3\sqrt{3}\). Теперь мы можем использовать эту высоту для расчета площади круга, вписанного в трапецию.

11. Формула для площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

12. Подставим значение радиуса: \(S = \pi \cdot (6^2) = 36\pi\).

Таким образом, площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, составляет \(36\pi\) (квадратных единиц).