Какова площадь меньшего подобного треугольника, если его площадь на 26 см2 меньше площади большего треугольника?

Искандер_6127

62

Для решения данной задачи нам необходимо установить связь между площадями и периметрами подобных треугольников.

Пусть S1 и S2 обозначают площади меньшего и большего подобных треугольников соответственно.

В соответствии с условием задачи, площадь меньшего треугольника на 26 см² меньше площади большего треугольника, то есть:

S2 = S1 + 26 (1)

Площадь подобных треугольников имеет связь с помощью соотношения длин сторон, и это отношение равно квадрату соответствующей длины стороны:

\( \frac{S2}{S1} = \left(\frac{a2}{a1}\right)^2 \), где a1 и a2 - длины сторон меньшего и большего треугольника соответственно.

В данной задаче не указаны длины сторон, но есть информация о периметрах треугольников. Поэтому воспользуемся данной информацией и найдем связь между периметрами.

Отношение периметров треугольников будет равно отношению длин сторон:

\( \frac{P2}{P1} = \frac{a2}{a1} \), где P1 и P2 - периметры меньшего и большего треугольника соответственно.

В условии указано, что отношение периметров меньшего и большего треугольников равно 6:7. Поэтому:

\( \frac{P2}{P1} = \frac{6}{7} \) (2)

Теперь мы имеем два уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными (S1 и a1). Решим их вместе.

Из уравнения (2) получаем:

\( \frac{a2}{a1} = \frac{P2}{P1} = \frac{6}{7} \)

Заменим \(\frac{a2}{a1}\) в уравнении (1) соответствующим значением:

S2 = S1 + 26

\( \left(\frac{a2}{a1}\right)^2 \cdot S1 = S1 + 26 \)

\(\frac{36}{49} \cdot S1 = S1 + 26 \)

Раскроем скобки:

\(\frac{36}{49} \cdot S1 = S1 + 26 \)

\(\frac{36S1}{49} = S1 + 26 \)

Умножим обе части уравнения на 49, чтобы избавиться от знаменателя:

36S1 = 49S1 + 1274

Выразим S1:

49S1 - 36S1 = 1274

13S1 = 1274

S1 = \(\frac{1274}{13} = 98\)

Таким образом, площадь меньшего подобного треугольника составляет 98 см².

Теперь найдем отношение периметров.

Из уравнения (2) получаем:

\( \frac{P2}{P1} = \frac{6}{7} \)

Заменим \(\frac{a2}{a1}\) в уравнении (2) соответствующим значением:

\( \frac{P2}{P1} = \frac{6}{7} \)

\(\frac{P2}{P1} = \frac{6}{7} \)

7P2 = 6P1

Выразим P2:

P2 = \(\frac{6}{7} \cdot P1\)

Таким образом, периметр меньшего подобного треугольника составляет \(\frac{6}{7}\) от периметра большего треугольника.