Какова длина стороны FG в параллелограмме EFGH, если известно, что EG = 10, FH = 8 и EF = 6? (Воспользуйтесь теоремами

Velvet

39

Чтобы найти длину стороны FG в параллелограмме EFGH, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема гласит, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и углом α между сторонами a и b верно следующее равенство:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \alpha \]

В данном случае, мы имеем треугольник EGF с известными сторонами EG = 10, EF = 6 и углом GEF, который также является углом EHF в параллелограмме.

Мы можем найти угол GEF, используя теорему синусов, которая гласит, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и углами α, β и γ верно следующее равенство:

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

В данном случае, мы можем использовать эту теорему в треугольнике EGF для нахождения угла GEF, а затем использовать теорему косинусов для нахождения стороны FG.

Сначала найдем угол GEF:

\[ \sin \angle GEF = \frac{EG}{EF} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

Теперь найдем угол EGF, используя обратный синус:

\[ \angle GEF = \sin^{-1} \left( \frac{5}{3} \right) \approx 58.13^\circ \]

Так как параллелограмм имеет противоположные стороны, то угол EHF также равен \(58.13^\circ\).

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины стороны FG:

\[ FG^2 = EH^2 + FH^2 - 2 \cdot EH \cdot FH \cdot \cos \angle EHF \]

Подставляем известные значения:

\[ FG^2 = (10)^2 + (8)^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos (58.13^\circ) \]

Расчет:

\[ FG^2 = 100 + 64 - 160 \cdot \cos (58.13^\circ) \]

\[ FG^2 = 164 - 160 \cdot \left( \frac{5}{3} \right) \]

\[ FG^2 = 164 - \frac{800}{3} \]

\[ FG^2 = \frac{492}{3} \]

\[ FG \approx \sqrt{\frac{492}{3}} \approx 11.92 \]

Таким образом, длина стороны FG в параллелограмме EFGH составляет примерно 11.92.