Найдите длину высоты в равнобедренном треугольнике, если известны периметры треугольника, равные 48 см и

Магнитный_Магнат

58

Для решения данной задачи, нам потребуется знать формулу для расчета длины высоты в равнобедренном треугольнике. В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к основанию, является биссектрисой угла между равными сторонами. Обозначим длину высоты как \(h\).
Теперь перейдем к решению задачи:

1. Дано: периметр треугольника равен 48 см и две равные стороны.

Пусть длина каждой из равных сторон равна \(a\), а длина основания треугольника равна \(b\).

2. Так как периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин всех его сторон, мы можем записать уравнение:

\(a + a + b = 48\)

3. Упростим уравнение:

\(2a + b = 48\)

4. Также, в равнобедренном треугольнике длина высоты, проведенной к основанию, может быть выражена через длину основания \(b\) и длину стороны \(a\) с помощью формулы:

\(h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}\)

5. Теперь нам нужно выразить \(a\) через \(b\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как в равнобедренном треугольнике две из трех сторон равны:

\(a^2 = b^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\)

6. Упростим уравнение:

\(a^2 = b^2 - \frac{b^2}{4}\)

\(a^2 = \frac{3b^2}{4}\)

7. Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\(a = \frac{\sqrt{3b^2}}{2}\)

8. Теперь мы можем заменить \(a\) в уравнении (2) значением, полученным в уравнении (7):

\(2\left(\frac{\sqrt{3b^2}}{2}\right) + b = 48\)

\(\sqrt{3b^2} + b = 48\)

9. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\((\sqrt{3b^2} + b)^2 = 48^2\)

\(3b^2 + 2b\sqrt{3b^2} + b^2 = 2304\)

10. Для удобства приведем уравнение к одному члену с корнем:

\(2b\sqrt{3b^2} = 2304 - 3b^2 - b^2\)

\(2b\sqrt{3b^2} = 2304 - 4b^2\)

11. Возведем обе части уравнения в квадрат еще раз (для избавления от корня):

\(4b^2 \cdot 3b^2 = (2304 - 4b^2)^2\)

\(12b^4 = 2304^2 - 2 \cdot 2304 \cdot 4b^2 + (4b^2)^2\)

12. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(12b^4 = 2304^2 - 2 \cdot 2304 \cdot 4b^2 + 16b^4\)

\(12b^4 - 16b^4 + 2 \cdot 2304 \cdot 4b^2 = 2304^2\)

\(-4b^4 + 2 \cdot 9216b^2 = 2304^2\)

13. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(b^2\):

\(-4b^4 + 18432b^2 - 2304^2 = 0\)

14. Ищем корни этого квадратного уравнения и выбираем положительное значение \(b^2\), так как мы ищем длину.

15. Решив квадратное уравнение, мы найдем значение \(b^2\). Извлекаем из него корень, чтобы найти \(b\).

16. Подставляем найденное значение \(b\) в уравнение (2) и рассчитываем значение \(a\).

17. После того, как мы нашли значения \(a\) и \(b\), подставляем их в формулу для высоты \(h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}\) и выполняем вычисления.

Таким образом, проведя все эти шаги, мы найдем длину высоты в равнобедренном треугольнике. Однако, решение данного квадратного уравнения может быть сложным и требовать время. Чтобы упростить вычисления, можно использовать численные методы или калькулятор.