Какова площадь области, ограниченной осью x, линией x=3, осью y и графиком функции y=x^2-4x+5?

Панда

1

Чтобы найти площадь области, ограниченной осью x, линией \(x = 3\), осью y и графиком функции \(y = x^2 - 4x + 5\), нам нужно разделить эту область на две части и найти площадь каждой из них. Для этого будем использовать метод определенного интеграла.

Первый шаг - найти точки пересечения графика функции \(y = x^2 - 4x + 5\) с осью x. Чтобы найти эти точки, приравняем \(y\) к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

\[x^2 - 4x + 5 = 0\]

Можем применить квадратное уравнение и найти корни с помощью формулы для нахождения корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 5\). Подставим значения:

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

Корни являются комплексными числами, что значит, что график функции \(y = x^2 - 4x + 5\) не пересекает ось x. Таким образом, нет необходимости делить область на две части.

Теперь, чтобы найти площадь области ограниченной графиком функции \(y = x^2 - 4x + 5\), осью x и линией \(x = 3\), мы будем использовать определенный интеграл. Определенный интеграл позволяет находить площадь под кривой на заданном интервале.

Площадь под графиком функции на интервале от \(x = 0\) до \(x = 3\) равна:

\[\int_0^3 (x^2 - 4x + 5) \, dx\]

Чтобы найти площадь, проинтегрируем выражение:

\[\int_0^3 (x^2 - 4x + 5) \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x\right]_0^3\]

Выполним подстановку верхнего и нижнего пределов интегрирования:

\[\left(\frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 5(3)\right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 5(0)\right)\]

\[\left(\frac{1}{3}(27) - 2(9) + 15\right) - \left(\frac{1}{3}(0) - 2(0) + 0\right)\]
\[\left(9 - 18 + 15\right) - \left(0\right)\]
\[6\]

Таким образом, площадь области, ограниченной осью x, линией \(x = 3\), осью y и графиком функции \(y = x^2 - 4x + 5\) равна 6 квадратным единицам.