Какова площадь области, ограниченной прямыми x=b, осью Ox и графиком функции y=f(x), если b=3, f(x)=x^2+2x?

Andreevna

62

Для решения данной задачи нам нужно найти площадь области, ограниченной прямыми \(x = b\), осью \(Ox\) и графиком функции \(y = f(x)\). В данном случае, \(b = 3\) и \(f(x) = x^2 + 2x\).

Для начала, давайте построим график функции \(y = f(x)\) для лучшего понимания:

\[
y = x^2 + 2x
\]

Построим таблицу значений:

\[
\begin{align*}
x & y \\
-2 & 0 \\
-1 & 0 \\
0 & 0 \\
1 & 3 \\
2 & 8 \\
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти площадь области, ограниченной прямыми \(x = 3\), осью \(Ox\) и графиком функции \(y = x^2 + 2x\), мы можем воспользоваться определенным интегралом.

Интеграл функции \(y = f(x)\) на отрезке \([-2, 3]\) можно записать следующим образом:

\[
\int_{-2}^{3} (x^2 + 2x) \, dx
\]

Вычислим данный интеграл:

\[
\begin{align*}
\int_{-2}^{3} (x^2 + 2x) \, dx &= \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2\right]_{-2}^{3} \\
&= \left(\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2\right) \\
&= \left(\frac{1}{3} \cdot 27 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot (-8) + 4\right) \\
&= \left(9 + 9\right) - \left(\frac{-8}{3} + 4\right) \\
&= 18 - \left(\frac{-8}{3} + \frac{12}{3}\right) \\
&= 18 - \frac{-8 + 12}{3} \\
&= 18 - \frac{4}{3} \\
&= 18 - \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3} \\
&= 18 - \frac{4}{9} \\
&= \frac{162}{9} - \frac{4}{9} \\
&= \frac{162 - 4}{9} \\
&= \frac{158}{9}
\end{align*}
\]

Получаем, что площадь области, ограниченной прямыми \(x = 3\), осью \(Ox\) и графиком функции \(y = x^2 + 2x\), равна \(\frac{158}{9}\) или около 17.56 (округляем до двух десятичных знаков).

Таким образом, ответ на задачу составляет \(\frac{158}{9}\) или около 17.56.