Какова площадь области, ограниченной следующими границами: графиком функции y=2cosx, горизонтальной линией y=1

Kote

33

Для начала, давайте построим график функции \(y=2\cos(x)\) на координатной плоскости, чтобы визуализировать заданную область.

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
ymin=-2.5, ymax=2.5,
xmin=-2*pi, xmax=2*pi,
xtick distance=pi/3,
xticklabels={\(-\frac{\pi}{3}\),\(\frac{\pi}{3}\),\(\frac{2\pi}{3}\),\(\frac{5\pi}{6}\),\(\frac{4\pi}{3}\),\(\frac{7\pi}{6}\)},
ytick={-2,-1,1,2},
yticklabels={\(-2\),\(-1\),\(1\),\(2\)},
]
\addplot[domain=-2*pi:2*pi, samples=100, color=blue]{2*cos(deg(x))};
\addplot[domain=-2*pi:2*pi, samples=100, color=black]{1};
\draw (-pi/3,-2.5) -- (-pi/3,2.5);
\draw (pi/3,-2.5) -- (pi/3,2.5);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Как видно из графика, в области между графиком функции \(y=2\cos(x)\) и горизонтальной линией \(y=1\) заключена искомая площадь. Задача сводится к определению границ этой области.

Мы знаем, что функция \(\cos(x)\) колеблется между -1 и 1. При умножении на 2, график функции \(y=2\cos(x)\) будет колебаться между -2 и 2. Горизонтальная линия \(y=1\) находится на константном значении 1.

Теперь нам необходимо найти точки пересечения графика функции \(y=2\cos(x)\) и горизонтальной линии \(y=1\). Для этого приравняем эти два выражения и решим уравнение:

\[
2\cos(x) = 1
\]

Решение данного уравнения даст нам \(x\)-координаты точек пересечения. Затем мы используем вертикальные линии \(x=-\frac{\pi}{3}\) и \(x=\frac{\pi}{3}\) как левую и правую границу нашей области.

Решим уравнение \(2\cos(x) = 1\):

\[
\cos(x) = \frac{1}{2}
\]

Чтобы найти значения \(x\), для которых \(\cos(x) = \frac{1}{2}\), мы можем воспользоваться тем, что \(\cos(x)\) является периодической функцией.

Мы знаем, что \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) и \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Теперь мы имеем значения \(x\) для точек пересечения графика функции \(y=2\cos(x)\) и горизонтальной линии \(y=1\), а также левую и правую границу области. Чтобы найти площадь этой области, мы можем использовать интеграл.

Площадь области между графиком функции \(y=2\cos(x)\), горизонтальной линией \(y=1\) и вертикальными линиями \(x=-\frac{\pi}{3}\) и \(x=\frac{\pi}{3}\) можно вычислить следующим образом:

\[
S = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos(x) - 1) dx
\]

Выполним интегрирование:

\[
S = \left[2\sin(x) - x\right]_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} - \left(2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3}\right)
\]

Учитывая, что \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[
S = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{\pi}{3} - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком функции \(y=2\cos(x)\), горизонтальной линией \(y=1\) и вертикальными линиями \(x=-\frac{\pi}{3}\) и \(x=\frac{\pi}{3}\), равна \(\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}\).