Какова площадь области, заключенной под графиком функции y=x^2 на заданном интервале?

Золотой_Король_42

54

Чтобы найти площадь области под графиком функции \(y=x^2\) на заданном интервале, мы можем использовать метод интегрирования. В этом случае, так как функция \(y=x^2\) положительна на всем заданном интервале, можем интегрировать от \(x\) до \(x\) и получить площадь.

Давайте разберемся пошагово:

1. Определите заданный интервал. Допустим, интервал задан от \(x=a\) до \(x=b\).

2. Найдите неопределенный интеграл функции \(y=x^2\) относительно переменной \(x\). Будем обозначать этот интеграл как \(F(x)\). Интегрируя функцию \(y=x^2\), получаем:
\[F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

3. Вычислите значение \(F(x)\) для верхнего предела интервала \(x=b\), подставив \(x=b\) в выражение \(F(x)\):
\[F(b) = \frac{1}{3}b^3 + C\]

4. Вычислите значение \(F(x)\) для нижнего предела интервала \(x=a\), подставив \(x=a\) в выражение \(F(x)\):
\[F(a) = \frac{1}{3}a^3 + C\]

5. Вычислите разность \(F(b) - F(a)\), чтобы найти значение площади области:
\[S = F(b) - F(a) = \frac{1}{3}b^3 + C - \left(\frac{1}{3}a^3 + C\right) = \frac{1}{3}(b^3 - a^3)\]

Таким образом, площадь области, заключенной под графиком функции \(y=x^2\) на заданном интервале \([a, b]\), равна \(\frac{1}{3}(b^3 - a^3)\).

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять, как найти площадь области под графиком функции \(y=x^2\) и применить это знание при решении подобных задач.