Какова площадь общей поверхности правильной треугольной призмы с основанием, у которого сторона равна и боковым ребром

Звездопад_На_Горизонте_7192

60

Давайте решим задачу о площади общей поверхности правильной треугольной призмы. По условию треугольная призма имеет основание в форме равностороннего треугольника, у которого сторона равна \(a\), а боковое ребро той же длины, \(a\).

Для нахождения площади общей поверхности призмы сначала нам нужно найти площади каждого из ее боковых лиц и основания, а затем сложить их вместе.

1. Найдем площадь основания призмы. Так как основание является равносторонним треугольником, мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника. Площадь правильного треугольника можно найти, зная длину его стороны. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

2. Теперь рассмотрим боковую грань призмы. Боковая грань имеет форму прямоугольного треугольника со сторонами \(a\), \(a\) и \(c\), где \(c\) - это высота треугольника. Мы можем найти \(c\) с использованием теоремы Пифагора. По определению, \(c^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2\), что приводит нас к следующему шагу:

\[c = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\]

Теперь мы можем найти площадь каждой боковой грани, используя формулу прямоугольного треугольника:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3}{4}a^2\]

3. Итак, площадь общей поверхности призмы состоит из площади основания и двух боковых граней:

\[S_{\text{общ}} = 2 \cdot S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 2 \cdot \frac{3}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Мы можем объединить члены с \(a^2\) и \(a\) для упрощения выражения:

\[S_{\text{общ}} = \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)a^2\]

Таким образом, площадь общей поверхности правильной треугольной призмы с основанием равностороннего треугольника длиной стороны \(a\) и боковым ребром также равным \(a\) равна \(\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)a^2\).