Какова площадь окружности, описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, в которой каждое боковое ребро равно

Луна_В_Омуте

31

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется некоторое знание о треугольной пирамиде и окружностях.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а высота перпендикулярна этому основанию и проходит через его центр.

Для начала, давайте определим радиус описанной окружности вокруг пирамиды. Если каждая боковая грань длиной b образует угол 30 градусов с плоскостью основания, то этот угол является углом наклона боковой грани. В равностороннем треугольнике у каждого угла равный 60 градусов, поэтому угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани составляет 90 - 60 = 30 градусов.

У нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен 90 градусам (угол основания), а другой угол равен 30 градусам (угол наклона). Мы знаем, что длина каждого бокового ребра равна b. В прямоугольном треугольнике нам нужно найти гипотенузу, которая будет равна радиусу описанной окружности вокруг пирамиды.

Мы можем использовать тригонометрический соотношение синуса, чтобы найти гипотенузу:

\[\sin(30°) = \frac{{\text{противолежащий к углу наклона катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Так как угол наклона равен 30 градусам, то \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).

Подставляя это значение и длину катета b, получим:

\[\frac{1}{2} = \frac{{b}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Мы можем переставить это соотношение, чтобы найти гипотенузу:

\[\text{гипотенуза} = \frac{{b}}{{\frac{1}{2}}} = 2b\]

Теперь, чтобы найти площадь окружности, описанной вокруг пирамиды, мы используем формулу для площади окружности:

\[Площадь = \pi \times (\text{радиус})^2\]

В нашем случае радиус равен 2b, поэтому:

\[Площадь = \pi \times (2b)^2 = 4\pi b^2\]

Итак, площадь окружности, описанной вокруг данной правильной треугольной пирамиды, равна \(4\pi b^2\).