Какова площадь осевого сечения цилиндра, если его диагональ, параллельная оси, равна 8√3, она наклонена к плоскости

Петя

31

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить площадь осевого сечения цилиндра. Для начала, давайте разберемся с данными условиями.

У нас есть следующие данные:
- Диагональ, параллельная оси цилиндра, равна 8√3.
- Данная диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°.
- Осевое сечение цилиндра отсекает дугу в основании с углом 120°.

Для решения данной задачи, мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника.

Диагональ цилиндра представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника. Мы можем разделить этот треугольник на два равнобедренных треугольника, так как угол наклона диагонали равен 60°. Зная, что угол, образованный между диагональю и осью цилиндра, равен 30° (поскольку угол в прямоугольном треугольнике равен 90°), мы можем использовать формулу для площади треугольника.

Формула для площади треугольника: \(\frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(C\) - угол, образованный между этими сторонами.

Для нашего случая, длина \(a\) будет равна половине длины диагонали цилиндра, так как мы разделили треугольник на две равные части. Поэтому \(a = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).

Также, длина \(b\), это радиус основания цилиндра. Для нахождения радиуса, мы можем разделить угол, образованный в основании сечения (120°) на 360°, чтобы найти, какая часть от окружности сечение занимает. После этого, мы можем умножить полученную часть на окружность основания цилиндра, чтобы найти длину \(b\).

Так как сечение в основании отсекает дугу в 120°, то это значит, что сечение занимает \(\frac{120}{360} = \frac{1}{3}\) часть от окружности.

Длина окружности, это \(2\pi \times r\), где \(r\) - радиус основания. Поэтому, длина \(b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times r\).

Теперь, мы можем вычислить площадь треугольника с помощью формулы:
\[S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)\].

Подставив значения, получим:
\[S = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{3} \times 2\pi \times r \times \sin(30°)\].

\(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), поэтому упростим формулу:
\[S = \frac{2\sqrt{3}}{3} \pi r\].

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра составляет \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \pi r\) (единицы площади, квадратные сантиметры, квадратные метры и т.д., в зависимости от единиц измерения длины основания и радиуса цилиндра).