Какова площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 10 см и апофема

Petya

58

Для начала, давайте разберемся, что такое правильная шестиугольная пирамида. Это трехмерное геометрическое тело, у которого основание состоит из шести равных сторон, а боковые грани - из треугольников. Все углы при основании и вершинах пирамиды равны между собой.

Известно, что сторона основания пирамиды равна 10 см. Также дано, что апофема равна и она показывает расстояние от середины любой стороны основания до вершины пирамиды.

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нам нужно вычислить сумму площадей всех боковых треугольников.

Рассмотрим один из этих треугольников, который имеет сторону \(a\) и высоту \(h\). В данном случае, \(a\) - это сторона основания (10 см), а \(h\) - это апофема, неизвестное значение.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту этого треугольника. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (апофемы) равен сумме квадратов катетов. То есть:

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]

Далее произведем несложные алгебраические вычисления:

\[h^2 = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}\]

\[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}\]

Таким образом, мы нашли высоту одного бокового треугольника:

\[h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\]

Для находения площади боковой поверхности (B) пирамиды, нам нужно умножить периметр основания (P) на высоту бокового треугольника (h) и поделить результат на 2:

\[B = \frac{P \cdot h}{2}\]

Поскольку у нас шестиугольное основание, то периметр P можно найти так:

\[P = 6 \cdot a\]

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности пирамиды через известные значения:

\[B = \frac{6 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}}{2} = 3 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{3 \sqrt{3} a^2}{2}\]

Давайте подставим значение стороны основания (10 см) в нашу формулу, чтобы найти площадь боковой поверхности:

\[B = \frac{3 \sqrt{3} \cdot (10 \, \text{см})^2}{2} = \frac{3 \sqrt{3} \cdot 100 \, \text{см}^2}{2} = \frac{300 \sqrt{3} \, \text{см}^2}{2} = 150 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды будет равна \(150 \sqrt{3} \, \text{см}^2\).