Какова площадь основания конуса, если плоскость, перпендикулярная высоте конуса, пересекает его и делит высоту

Звук_102

46

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу площади основания конуса.

Пусть \(S\) — площадь основания конуса, \(h\) — высота конуса, и \(S_{\text{сечения}}\) — площадь сечения, образованного плоскостью, перпендикулярной высоте конуса.

Из условия задачи известно, что плоскость делит высоту на отрезки в отношении 1:3. То есть, если обозначить длину полной высоты конуса за \(H\), то верхний отрезок равен \(\frac{H}{4}\), а нижний отрезок равен \(\frac{3H}{4}\). Обратите внимание, что в условии задачи указано, что данные отношения считаются от вершины конуса.

Теперь мы можем выразить площадь сечения через известные величины, а именно \(S_{\text{сечения}} = \frac{1}{4} \cdot S\).

Также мы можем применить свойство подобия фигур для нахождения объёма конуса. Если площадь сечения одной фигуры к площади сечения другой фигуры равна квадрату отношения длин подобных линейных размеров, то объём первой фигуры к объёму второй фигуры равен кубу того же отношения.

Подставим полученное выражение для площади сечения и объёма конуса: \(\frac{S_{\text{сечения}}}{S_{\text{основания}}} = \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot S}{S}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\).

Теперь найдем отношение объёма конуса к объёму целого конуса. Воспользуемся соотношением объёма к площади основания: \(\frac{V}{V_{\text{целого конуса}}}} = \frac{S_{\text{сечения}}}{S_{\text{основания}}} = \frac{1}{16}\).

Так как площадь основания конуса \(S\) входит в данное соотношение, мы можем выразить площадь основания:

\[S = \frac{V_{\text{целого конуса}}}{16}\].

Таким образом, площадь основания конуса равна частному объёма всего конуса на 16.

Мы использовали свойство подобия фигур и соотношение объёма к площади основания для решения задачи. Обосновали каждый шаг нашего решения. Теперь, зная эту формулу, вы можете применить её в аналогичных задачах.

Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!