Какова площадь параллелограмма ABCD, если расстояние от вершины B до прямой AD составляет 6 см, до прямой AC - 4

Magiya_Lesa

30

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам понадобится знать длину одной из его сторон и высоту. В данной задаче, мы знаем две высоты, которые являются расстояниями от вершины B до прямых AD и AC. Найдем длину стороны BC, расположенной между этими двумя высотами.

Для начала, нарисуем параллелограмм ABCD:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & A & & & & & B \\
& & \vert & & & & \vert & \\
& & \vert & & & & \vert & \\
& & \vert & & & & \vert & \\
& & \vert & & & & \vert & \\
& D & \text{———} & \text{———} & \text{———} & \text{———} & \text{———} & C \\
\end{array}
\]

Заметим, что боковая сторона BC параллелограмма равна боковой стороне AD, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Теперь введем букву H в качестве точки пересечения прямых AC и BD. Далее у нас есть четыре треугольника: AHB, ADB, BHC и BDC. Заметим, что треугольники AHB и BHC являются равнобедренными, так как высоты BH и HC — это биссектрисы соответствующих углов внутри параллелограмма.

Теперь рассмотрим треугольник ADB. Так как угол CAD равен 30°, угол ADB также равен 30° (так как это вертикальные углы). Зная угол ADB, длину стороны AD (которая равна длине стороны BC) и катет AD (который равен 6 см), мы можем найти сторону BD, используя тригонометрию.

С помощью теоремы косинусов, найдем сторону BD:

\[BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos(\angle ADB)\]

\[
BD^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(30°)
\]

\[
BD^2 = 36 + 16 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
BD^2 = 52 - 24 \cdot \sqrt{3}
\]

\[
BD = \sqrt{52 - 24 \cdot \sqrt{3}}
\]

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, умножим сторону BC на высоту BH:

Площадь параллелограмма ABCD = BC * BH

\[
\text{Площадь параллелограмма ABCD} = \sqrt{52 - 24 \cdot \sqrt{3}} \cdot 4 \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна \(\sqrt{52 - 24 \cdot \sqrt{3}} \cdot 4\) квадратных сантиметра.