Какова площадь параллелограмма, если его диагональ равна 18 см, она перпендикулярна одной из его сторон и образует угол

Stepan

52

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание свойств параллелограмма и некоторых тригонометрических соотношений.

1. Понимание свойств параллелограмма:
- Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.
- Параллелограмм также имеет следующие свойства:
- Противоположные углы равны.
- Диагонали параллелограмма делятся пополам.
- Перпендикуляр от диагонали к любой стороне делит ее на две равные части.

2. Постановка задачи:
Мы знаем, что одна из диагоналей параллелограмма равна 18 см и перпендикулярна одной из его сторон. Диагональ образует угол 30 градусов со второй стороной. Нам нужно найти площадь параллелограмма.

3. Решение задачи:
Обозначим стороны параллелограмма буквами a и b, где a - сторона, перпендикулярная диагонали, и b - соответствующая сторона, образующая угол 30 градусов с диагональю.

Для начала, найдем высоту параллелограмма, опущенную на сторону b. Эта высота будет равна половине длины диагонали, так как диагонали параллелограмма делятся пополам. Используем свойство параллелограмма:
\[h = \frac{18}{2} = 9 \, \text{см}\]

Теперь нам нужно найти длину стороны b с помощью тригонометрических соотношений. Мы знаем, что угол между диагональю и стороной b составляет 30 градусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором сторона b является гипотенузой, а сторона h - противолежащим катетом.

Применим соотношение синуса для нахождения значения стороны b:
\[\sin(30^\circ) = \frac{h}{b}\]

Подставим известные значения:
\[\sin(30^\circ) = \frac{9}{b}\]

Используя табличное значение синуса 30 градусов (\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)), решим уравнение:
\[\frac{1}{2} = \frac{9}{b}\]

Перемножим обе стороны уравнения на b и решим его:
\[b = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 18\, \text{см}\]

Теперь у нас есть значения сторон a и b параллелограмма. Чтобы найти его площадь, умножим длину одной из сторон (a) на высоту (h):
\[S = a \cdot h = 18 \cdot 9 = 162\, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь данного параллелограмма равна 162 квадратных сантиметра.

Я надеюсь, что данное пошаговое решение позволяет вам полностью понять задачу и способ ее решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!