Какова площадь параллелограмма, у которого высоты равны 8 см и 12 см, а один из углов имеет размер 150°?

Skvoz_Kosmos

60

Чтобы найти площадь параллелограмма, у которого известны высоты и угол, нам понадобятся такие понятия, как основание и высота.

Основание параллелограмма — это одна из его сторон, к которой проведена высота. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его основание. В данной задаче у нас есть две высоты: одна равна 8 см, а другая равна 12 см.

Чтобы найти основание параллелограмма, нам нужно разделить все четыре стороны параллелограмма на две группы — основание и высоту, и выбрать соседние стороны, образующие прямой угол с основанием.

Давайте рассмотрим сначала основание, образованное углом в 150°. Обозначим его $a$ и выразим через него второе основание $b$ с использованием свойства параллелограмма — противоположные стороны равны. Так как у нас известны высоты, мы можем узнать длину одной из сторон основания, например, $a$.

Вспомним тригонометрический закон косинусов для расчета длин сторон треугольника:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

Где $c$ — сторона противолежащая углу $C$ треугольника.

В нашем случае у нас есть угол 150° и одна сторона треугольника равна 8 см, поэтому мы можем записать уравнение в следующем виде:

$$b^2=a^2+8^2-2\cdot a\cdot 8\cdot \cos (150°)$$

Так как мы знаем, что угол 150° соответствует значению косинуса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, мы можем подставить его в уравнение:

$$b^2=a^2+64+16a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$b^2=a^2+64+8a\sqrt{3}$$

Зная, что стороны основания равны, мы можем записать:

$$a=b$$

Теперь мы можем заменить переменную $a$ на $b$:

$$b^2=b^2+64+8b\sqrt{3}$$

Вычтем $b^2$ с обеих сторон уравнения:

$$0=64+8b\sqrt{3}$$

Теперь, чтобы найти $b$, нам нужно избавиться от неизвестного члена $\sqrt{3}$. Разделим обе части уравнения на $8\sqrt{3}$:

$$0=\frac{64}{8\sqrt{3}}+b$$

$$b=-\frac{64}{8\sqrt{3}}$$

Теперь у нас есть значение стороны $b$. Мы можем использовать это значение, чтобы найти высоту параллелограмма, проведенную к стороне $b$.

Так как высота между параллельными сторонами создает два прямоугольных треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину линии $a$:

$$a^2={12}^2-b^2$$

$$a^2=144-{(-\frac{64}{8\sqrt{3}})}^2$$

$$a^2=144-\frac{{64}^2}{(8\sqrt{3}{)}^2}$$

$$a^2=144-\frac{{64}^2}{8^2\cdot 3}$$

$$a^2=144-\frac{{64}^2}{64\cdot 3}$$

$$a^2=144-\frac{64}{3}$$

$$a^2=\frac{144\cdot 3-64}{3}$$

$$a^2=\frac{432-64}{3}$$

$$a^2=\frac{368}{3}$$

$$a=\sqrt{\frac{368}{3}}$$

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем использовать формулу:

$$S=a\cdot b$$

$$S=\sqrt{\frac{368}{3}}\cdot (-\frac{64}{8\sqrt{3}})$$

$$S=\frac{\sqrt{368}\cdot (-64)}{\sqrt{3}\cdot 8}$$

$$S=-\frac{64\sqrt{368}}{8\cdot \sqrt{3}}$$

$$S=-\frac{64\sqrt{368}}{8\sqrt{3}}$$

$$S=-8\cdot \frac{\sqrt{368}}{\sqrt{3}}$$

$$S=-8\cdot \sqrt{\frac{368}{3}}$$

Таким образом, площадь параллелограмма, у которого высоты равны 8 см и 12 см, а один из углов составляет 150°, равна $-8\cdot \sqrt{\frac{368}{3}}$ квадратных сантиметров.