Какова площадь параллелограмма, у которого высоты равны 8 см и 12 см, а один из углов имеет размер 150°?

Skvoz_Kosmos

60

Чтобы найти площадь параллелограмма, у которого известны высоты и угол, нам понадобятся такие понятия, как основание и высота.

Основание параллелограмма — это одна из его сторон, к которой проведена высота. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его основание. В данной задаче у нас есть две высоты: одна равна 8 см, а другая равна 12 см.

Чтобы найти основание параллелограмма, нам нужно разделить все четыре стороны параллелограмма на две группы — основание и высоту, и выбрать соседние стороны, образующие прямой угол с основанием.

Давайте рассмотрим сначала основание, образованное углом в 150°. Обозначим его \(a\) и выразим через него второе основание \(b\) с использованием свойства параллелограмма — противоположные стороны равны. Так как у нас известны высоты, мы можем узнать длину одной из сторон основания, например, \(a\).

Вспомним тригонометрический закон косинусов для расчета длин сторон треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(c\) — сторона противолежащая углу \(C\) треугольника.

В нашем случае у нас есть угол 150° и одна сторона треугольника равна 8 см, поэтому мы можем записать уравнение в следующем виде:

\[b^2 = a^2 + 8^2 - 2 \cdot a \cdot 8 \cdot \cos(150°)\]

Так как мы знаем, что угол 150° соответствует значению косинуса \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем подставить его в уравнение:

\[b^2 = a^2 + 64 + 16a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[b^2 = a^2 + 64 + 8a \sqrt{3}\]

Зная, что стороны основания равны, мы можем записать:

\[a = b\]

Теперь мы можем заменить переменную \(a\) на \(b\):

\[b^2 = b^2 + 64 + 8b \sqrt{3}\]

Вычтем \(b^2\) с обеих сторон уравнения:

\[0 = 64 + 8b \sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти \(b\), нам нужно избавиться от неизвестного члена \(\sqrt{3}\). Разделим обе части уравнения на \(8 \sqrt{3}\):

\[0 = \frac{64}{8 \sqrt{3}} + b\]

\[b = - \frac{64}{8 \sqrt{3}}\]

Теперь у нас есть значение стороны \(b\). Мы можем использовать это значение, чтобы найти высоту параллелограмма, проведенную к стороне \(b\).

Так как высота между параллельными сторонами создает два прямоугольных треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину линии \(a\):

\[a^2 = 12^2 - b^2\]

\[a^2 = 144 - \left(- \frac{64}{8 \sqrt{3}}\right)^2\]

\[a^2 = 144 - \frac{64^2}{(8 \sqrt{3})^2}\]

\[a^2 = 144 - \frac{64^2}{8^2 \cdot 3}\]

\[a^2 = 144 - \frac{64^2}{64 \cdot 3}\]

\[a^2 = 144 - \frac{64}{3}\]

\[a^2 = \frac{144 \cdot 3 - 64}{3}\]

\[a^2 = \frac{432 - 64}{3}\]

\[a^2 = \frac{368}{3}\]

\[a = \sqrt{\frac{368}{3}}\]

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем использовать формулу:

\[S = a \cdot b\]

\[S = \sqrt{\frac{368}{3}} \cdot \left(- \frac{64}{8 \sqrt{3}}\right)\]

\[S = \frac{\sqrt{368} \cdot (-64)}{\sqrt{3} \cdot 8}\]

\[S = -\frac{64 \sqrt{368}}{8 \cdot \sqrt{3}}\]

\[S = -\frac{64 \sqrt{368}}{8 \sqrt{3}}\]

\[S = -8 \cdot \frac{\sqrt{368}}{\sqrt{3}}\]

\[S = -8 \cdot \sqrt{\frac{368}{3}}\]

Таким образом, площадь параллелограмма, у которого высоты равны 8 см и 12 см, а один из углов составляет 150°, равна \(-8 \cdot \sqrt{\frac{368}{3}}\) квадратных сантиметров.