Какова площадь пересечения треугольника АВС и круга с радиусом √2 и центром в точке В, если в треугольнике угол В равен

Svetlyachok_V_Nochi

15

Для начала нам нужно вычислить длину стороны АС треугольника. Для этого мы можем использовать формулу синуса:

\[\sin(\angle В) = \frac{{BC}}{{AC}} \]

Так как у нас уже известен угол В (140°) и длина стороны ВС (радиус круга √2), мы можем выразить длину стороны АС:

\[AC = \frac{{BC}}{{\sin(\angle В)}} \]

Теперь нужно вычислить высоту треугольника от стороны АС. Мы знаем, что высота создает прямой угол с основанием. Так как у нас есть треугольник АВС, основанием будет сторона АС.

Высота H проходит через центр круга и перпендикулярна основанию.

Таким образом, треугольник ВСH - прямоугольный со сторонами BV, VH и BC. Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины высоты H:

\[HV^2 + VС^2 = BH^2 \]

Мы уже знаем длину стороны ВС (радиус, равный √2), поэтому можем записать уравнение как:

\[HV^2 + (\sqrt{2})^2 = BH^2 \]

\[HV^2 + 2 = BH^2 \]

Теперь мы можем рассчитать длину высоты H:

\[HV = \sqrt{BH^2 - 2} \]

Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:

\[S_{\triangle АВC} = \frac{{AC \cdot H}}{{2}} \]

Подставим значения, которые мы вычислили:

\[S_{\triangle АВC} = \frac{{\frac{{BC}}{{\sin(\angle В)}} \cdot \sqrt{BH^2 - 2}}}{{2}} \]

Мы знаем, что угол В равен 140°, поэтому подставим его значение:

\[S_{\triangle АВC} = \frac{{\frac{{BC}}{{\sin(140^\circ)}} \cdot \sqrt{BH^2 - 2}}}{{2}} \]

Теперь остается только вычислить значения и подставить их в формулу для получения окончательного результата.