За что отвечает подстановка чисел при построении функции через производную? Я найду производную, а затем экстремумы

Yaguar

48

При построении функции через производную подстановка чисел играет важную роль в определении свойств функции, таких как экстремумы, точки перегиба и т.д. Рассмотрим процесс подстановки чисел на конкретном примере.

Предположим, у нас есть функция \(f(x)\), заданная производной \(f"(x)\). Для определения экстремумов этой функции (максимумов или минимумов) мы решаем уравнение \(f"(x) = 0\). Найденные значения \(x\) называются критическими точками.

Чтобы определить, является ли данная критическая точка максимумом или минимумом, мы используем вторую производную \(f""(x)\). Если \(f""(x) > 0\) при данной критической точке, то это означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке. Если \(f""(x) < 0\), то это означает, что функция имеет локальный максимум.

Теперь рассмотрим пример. Допустим, мы имеем функцию \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1\). Чтобы найти экстремумы этой функции, сначала найдем производную \(f"(x)\):
\[f"(x) = 3x^2 - 4x + 1\]

Далее, найдем критические точки, приравняв \(f"(x)\) к нулю:
\[3x^2 - 4x + 1 = 0\]

Решаем это уравнение и находим два значения \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = 1\). Это критические точки, в которых производная равна нулю.

Теперь найдем значение второй производной \(f""(x)\):
\[f""(x) = 6x - 4\]

Подставляем найденные критические точки и находим \(f""(x_1) = -2\) и \(f""(x_2) = 2\).

Исходя из значения второй производной, мы можем сделать вывод, что функция \(f(x)\) имеет локальный минимум в точке \(x_1 = \frac{1}{3}\), так как \(f""(x_1) < 0\). Аналогично, функция имеет локальный максимум в точке \(x_2 = 1\), так как \(f""(x_2) > 0\).

Таким образом, подстановка чисел при построении функции через производную позволяет определить экстремумы функции и классифицировать их как максимумы или минимумы. Это важный шаг в исследовании и построении графиков функций.