Какова площадь полной поверхности цилиндра с радиусом осевого сечения, являющимся квадратом, и площадью основания

Карамель_4873

37

Хорошо, давайте решим задачу о площади полной поверхности цилиндра с радиусом осевого сечения, являющимся квадратом, и площадью основания, равной 9 кв.дм.

Для начала, нам потребуется некоторое предварительное знание о геометрии цилиндра. Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая является прямоугольным полотном, образованным, когда одно из оснований "поднимается" по вертикали. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется суммированием площадей двух оснований и боковой поверхности.

Площадь основания цилиндра можно найти по формуле площади квадрата \(S = a^2\), где \(a\) - сторона квадрата. В данной задаче у нас площадь основания равна 9 кв.дм. Поэтому нам нужно найти значение стороны \(a\).

Чтобы найти значение стороны квадрата, возьмем квадратный корень от площади основания:
\[a = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}\]

Теперь, когда у нас есть значение стороны квадрата, мы можем найти радиус осевого сечения цилиндра. Радиус основания круга будет равен половине стороны квадрата, поэтому:
\[r = \frac{a}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ дм}\]

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h\), где \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота цилиндра. Однако в данной задаче нам не дана высота цилиндра.

Вместо этого, давайте воспользуемся теоремой Пифагора. Обратите внимание, что правильная треугольная пирамида, построенная на основании, равном стороне квадрата, будет подобна секущему цилиндру. Это означает, что соотношение сторон пирамиды будет таким же, как соотношение сторон цилиндра.

Так как сторона пирамиды, соединяющая вершину и центр квадрата, равна диаметру осевого сечения цилиндра, то она будет равна \(2r\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты \(h\) цилиндра. Она будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, а сторона \(2r\) - одним из катетов:
\[h = \sqrt{2r^2} = \sqrt{2 \cdot 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.121 \text{ дм}\]

Теперь, когда у нас есть значения радиуса основания и высоты цилиндра, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 1.5 \cdot 2.121 \approx 19.93 \text{ кв.дм}\]

В итоге, площадь полной поверхности цилиндра составляет примерно 19.93 кв.дм.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.