Какова площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в куб со стороной 6 см, и каков его объем?

Зимний_Вечер_8777

40

Хорошо, давайте начнем с вычисления площади полной поверхности цилиндра. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для площади боковой поверхности и площади основания цилиндра.

Формула для площади боковой поверхности цилиндра:
\[P_\text{б}=2\pi \cdot r \cdot h\]
где \(P_\text{б}\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - математическая константа (3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Формула для площади основания цилиндра:
\[S_\text{осн}=\pi \cdot r^2\]
где \(S_\text{осн}\) - площадь основания, \(\pi\) - математическая константа (3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра.

В нашем случае цилиндр вписан в куб со стороной 6 см, что означает, что диаметр основания цилиндра равен длине ребра куба, то есть 6 см.
\(d = 6 \, \text{см}\).

Чтобы найти радиус основания цилиндра, мы можем воспользоваться формулой для диаметра:
\(d = 2 \cdot r\).
Решим эту формулу относительно \(r\):
\(r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см}\).

Теперь, когда у нас есть радиус основания цилиндра, давайте найдем высоту цилиндра. В этом случае, высота цилиндра будет равна стороне куба, так как цилиндр вписан в куб.
\(h = 6 \, \text{см}\).

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, подставив значения в формулу:
\(P_\text{б} = 2\pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 6 = 113.04 \, \text{см}^2\).

Теперь давайте найдем площадь основания цилиндра, используя формулу:
\(S_\text{осн} = \pi \cdot r^2 = 3.14 \cdot 3^2 = 28.26 \, \text{см}^2\).

Так как цилиндр имеет две одинаковые основы, то площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:
\(P_\text{полн} = P_\text{б} + 2 \cdot S_\text{осн} = 113.04 + 2 \cdot 28.26 = 169.56 \, \text{см}^2\).

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в куб со стороной 6 см, равна \(169.56 \, \text{см}^2\).

Теперь давайте найдем объем цилиндра. Формула для вычисления объема цилиндра выглядит следующим образом:
\[V = S_\text{осн} \cdot h\]
где \(V\) - объем цилиндра, \(S_\text{осн}\) - площадь основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Мы уже найдем значение площади основания и высоту ранее:
\(V = 28.26 \cdot 6 = 169.56 \, \text{см}^3\).

Таким образом, объем цилиндра, вписанного в куб со стороной 6 см, равен \(169.56 \, \text{см}^3\).

Пожалуйста, обратите внимание, что все вычисления проведены с округленными значениями до двух десятичных знаков для удобства, а ответы представлены в квадратных сантиметрах (см\(^2\)) для площади и в кубических сантиметрах (см\(^3\)) для объема.