Какова площадь полной поверхности данной правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1, если диагональ призмы равна

Iskander

67

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для вычисления площади полной поверхности правильной четырехугольной призмы. Формула имеет вид:

\[S = 2A + P_h \cdot h\]

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(A\) - площадь одной основы, \(P_h\) - периметр одной основы, \(h\) - высота призмы.

Для начала, нам нужно вычислить площадь одной основы и периметр основания. Так как призма является правильной и четырехугольной, основа будет прямоугольником, у которого диагональ равна 10 см. Поскольку прямоугольник является основой, мы можем разделить его на два треугольника, каждый из которых будет прямоугольным. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длин сторон:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольных треугольников, а \(c\) - диагональ основания.

Применяя данную формулу, мы получаем:

\[a^2 + b^2 = 10^2\]
\[a^2 + b^2 = 100\]

Теперь, чтобы узнать периметр основания (\(P_h\)), мы складываем длины всех сторон прямоугольника:

\[P_h = 2a + 2b\]

Таким образом, у нас есть формула для периметра основания, но чтобы ее использовать, нам нужно узнать длины сторон прямоугольника (\(a\) и \(b\)).

Теперь, чтобы узнать высоту призмы (\(h\)), мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю и высотой:

\[h^2 + \left(\frac{c_1 + c_2}{2}\right)^2 = d^2\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - стороны треугольника, образованного диагоналем основания, а \(d\) - диагональ призмы.

Применяя данную формулу, мы получаем:

\[h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = 15^2\]
\[h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = 225\]

Теперь у нас есть все данные для вычисления площади полной поверхности.

Остается только подставить полученные значения в формулу:

\[S = 2A + P_h \cdot h\]

где \(A\) - площадь одной основы, которую мы можем найти как произведение длин сторон прямоугольника (\(A = a \cdot b\)), а \(P_h\) и \(h\) - периметр основания и высота призмы соответственно, которые мы вычислили ранее.

Таким образом, площадь полной поверхности данной правильной четырехугольной призмы равна \(S\) квадратных сантиметров.