Найти координаты точек C и D, если известно, что B является серединой отрезка AC, а D является серединой отрезка

Valentinovna

62

Чтобы найти координаты точек C и D, нам нужно использовать информацию о том, что B является серединой отрезка AC, а D является серединой отрезка BC.

Предположим, что точка A имеет координаты (x1, y1), точка B имеет координаты (x2, y2), а точки C и D имеют координаты (x3, y3) и (x4, y4) соответственно.

Так как B является серединой отрезка AC, мы можем использовать формулу для нахождения точки, находящейся на середине прямой между двумя точками. Формула для нахождения координат середины прямой между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) выглядит следующим образом:

\( x_{\text{середина}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} \)
\( y_{\text{середина}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2} \)

Применяя эту формулу к отрезку AC и используя информацию о том, что B является серединой отрезка AC, мы можем записать следующие уравнения:

\( x_2 = \frac{{x_1 + x_3}}{2} \) (1)
\( y_2 = \frac{{y_1 + y_3}}{2} \) (2)

Аналогично, так как D является серединой отрезка BC, мы можем записать уравнения:

\( x_4 = \frac{{x_2 + x_3}}{2} \) (3)
\( y_4 = \frac{{y_2 + y_3}}{2} \) (4)

Теперь у нас есть система из 4 уравнений с 4 неизвестными (x2, y2, x3, y3). Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения координат точек C и D.

Начнем с уравнения (1). Мы можем переписать его следующим образом:

\( 2x_2 = x_1 + x_3 \) (5)

Подставим значение x2 из уравнения (5) в уравнение (3), получим:

\( x_4 = \frac{{x_1 + x_3 + x_3}}{2} \) (6)
\( x_4 = \frac{{x_1 + 2x_3}}{2} \) (7)

Теперь используем информацию из уравнений (2) и (4) для нахождения y4:

\( y_2 = \frac{{y_1 + y_3}}{2} \) (8)
\( y_4 = \frac{{y_2 + y_3}}{2} \) (9)

Теперь у нас есть два уравнения (7) и (9) с двумя неизвестными (x3, y4). Мы можем решить эту систему, чтобы найти значения x3 и y4.

Решим уравнение (7):

\( x_4 = \frac{{x_1 + 2x_3}}{2} \) (7)
\( 2x_4 = x_1 + 2x_3 \) (10)
\( 2x_3 = 2x_4 - x_1 \) (11)
\( x_3 = \frac{{2x_4 - x_1}}{2} \) (12)
\( x_3 = x_4 - \frac{{x_1}}{2} \) (13)

Подставим значение x3 из уравнения (13) в уравнение (9), чтобы найти y4:

\( y_4 = \frac{{y_2 + y_3}}{2} \) (9)
\( y_4 = \frac{{y_2 + (x_4 - \frac{{x_1}}{2})}}{2} \) (14)
\( y_4 = \frac{{y_2 + x_4 - \frac{{x_1}}{2}}}{2} \) (15)
\( y_4 = \frac{{y_2}}{2} + \frac{{x_4}}{2} - \frac{{x_1}}{4} \) (16)

Итак, мы получили выражения для нахождения координат точек C и D:

\( x_3 = x_4 - \frac{{x_1}}{2} \)
\( y_4 = \frac{{y_2}}{2} + \frac{{x_4}}{2} - \frac{{x_1}}{4} \)

Используя эти формулы, можно вычислить координаты точек C и D, зная координаты точек A и B.