Какова площадь полной поверхности данной правильной пирамиды, если известно, что AB равно 10 и угол между SA

Schuka_2649

19

Для решения этой задачи нам понадобится формула для нахождения площади полной поверхности правильной пирамиды. Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания. Для этого нам нужна формула площади треугольника. В данном случае, основание пирамиды является треугольником SAB. Пусть сторона AB равна 10, тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

У нас нет прямой информации о высоте, поэтому ее надо найти. Заметим, что угол между SA и ABC составляет 45 градусов, а треугольник SAB является правильным треугольником с углом в 60 градусов. Отсюда следует, что угол между SB и AB также составляет 45 градусов. Так как треугольник является равнобедренным, мы можем разделить треугольник SAB на два равных прямоугольных треугольника. Теперь мы можем найти высоту по формуле:

\[
\text{высота} = AB \times \sin(45 \, \text{градусов}) = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
\]

Теперь мы можем найти площадь основания по формуле:

\[
S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times AB \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}
\]

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для правильной пирамиды все боковые грани равны между собой. Таким образом, каждая из этих граней является равнобедренным треугольником. Мы знаем, что угол между SA и ABC составляет 45 градусов, поэтому можем разделить треугольник ABC на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, в пирамиде у нас две равные боковые грани.

С другой стороны, мы знаем, что треугольник SAB является равносторонним, поэтому угол между SB и AB также составляет 60 градусов.

Мы можем найти площадь любой боковой грани, используя формулу площади треугольника:

\[
S_{\text{боковой грани}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

Так как треугольник ABC является прямоугольным с катетами длиной 10 и \(5\sqrt{2}\), мы можем найти основание и высоту треугольника ABC:

\[
\text{основание} = AB = 10
\]
\[
\text{высота} = SA \times \cos(45 \, \text{градусов}) = AB \times \cos(60 \, \text{градусов}) = 10 \times \frac{1}{2} = 5
\]

Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани:

\[
S_{\text{боковой грани}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25
\]

3. Чтобы найти площадь полной поверхности правильной пирамиды, мы должны сложить площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[
S_{\text{полной поверхности}} = S_{\text{основания}} + 2 \times S_{\text{боковой грани}} = 25\sqrt{2} + 2 \times 25 = 25\sqrt{2} + 50
\]

Таким образом, площадь полной поверхности данной правильной пирамиды равна \(25\sqrt{2} + 50\).