Каков радиус основания конуса, если его образующая и радиус описанной сферы равны 2 см? (с объяснением

Yakor

3

Хорошо, давайте решим эту задачу. Дано, что образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см. Пусть $r$ обозначает радиус основания конуса, а $h$ — его высоту.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством равенства образующей и диаметра описанной сферы. Так как радиус описанной сферы равен 2 см, диаметр сферы будет равен $2\cdot 2=4$ см.

Теперь, рассмотрим треугольник, образованный радиусом описанной сферы, радиусом основания конуса и его образующей. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус описанной сферы является гипотенузой, а радиус основания и образующая — катетами.

Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

$$r^2+h^2=(2r{)}^2$$

$$r^2+h^2=4r^2$$

Вычтем $r^2$ из обеих сторон:

$$h^2=3r^2$$

Теперь выразим высоту $h$ через радиус основания $r$:

$$h=\sqrt{3r^2}$$

Мы хотим найти радиус основания $r$, поэтому раскроем корень:

$$h=r\sqrt{3}$$

Теперь мы можем найти высоту в зависимости от радиуса основания конуса.

Таким образом, радиус основания конуса будет равен $r=\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{2\text{см}}{\sqrt{3}}\approx 1.155\text{см}$.

Ответ: радиус основания конуса при заданных условиях равен примерно 1.155 см.