Каков радиус основания конуса, если его образующая и радиус описанной сферы равны 2 см? (с объяснением

Yakor

3

Хорошо, давайте решим эту задачу. Дано, что образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см. Пусть \( r \) обозначает радиус основания конуса, а \( h \) — его высоту.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством равенства образующей и диаметра описанной сферы. Так как радиус описанной сферы равен 2 см, диаметр сферы будет равен \( 2 \cdot 2 = 4 \) см.

Теперь, рассмотрим треугольник, образованный радиусом описанной сферы, радиусом основания конуса и его образующей. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус описанной сферы является гипотенузой, а радиус основания и образующая — катетами.

Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

\[
r^2 + h^2 = (2r)^2
\]

\[
r^2 + h^2 = 4r^2
\]

Вычтем \( r^2 \) из обеих сторон:

\[
h^2 = 3r^2
\]

Теперь выразим высоту \( h \) через радиус основания \( r \):

\[
h = \sqrt{3r^2}
\]

Мы хотим найти радиус основания \( r \), поэтому раскроем корень:

\[
h = r\sqrt{3}
\]

Теперь мы можем найти высоту в зависимости от радиуса основания конуса.

Таким образом, радиус основания конуса будет равен \( r = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{2\ \text{см}}{\sqrt{3}} \approx 1.155\ \text{см} \).

Ответ: радиус основания конуса при заданных условиях равен примерно 1.155 см.