Какова площадь полной поверхности конуса, если его осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником

Magicheskiy_Vihr

38

Для решения этой задачи, нам понадобится знать формулу для площади полной поверхности конуса. Формула выглядит следующим образом:

\[ S = \pi r (r + L) \]

где \( S \) - площадь полной поверхности конуса, \( \pi \) - математическая константа (приближенное значение = 3.14), \( r \) - радиус основания конуса, а \( L \) - длина образующей конуса.

Нам также дано, что осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его высота, проведенная к основанию, равна \( h \). Мы знаем, что высота равностороннего треугольника делит его основание пополам, поэтому одна сторона основания равна \( \frac{h}{2} \).

Осталось найти радиус основания и длину образующей. Для равнобедренного треугольника с основанием \( a \) и высотой \( h \), длина его гипотенузы (образующей) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

\[ L = \sqrt{a^2 + h^2} \]

В нашем случае, сторона основания равна \( a = \frac{h}{2} \), поэтому:

\[ L = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + h^2} \]
\[ L = \sqrt{\frac{h^2}{4} + h^2} \]
\[ L = \sqrt{\frac{h^2 + 4h^2}{4}} \]
\[ L = \sqrt{\frac{5h^2}{4}} \]
\[ L = \frac{h}{2}\sqrt{5} \]

Теперь мы можем использовать найденные значения радиуса основания и длины образующей в формуле для площади полной поверхности конуса:

\[ S = \pi r (r + L) \]
\[ S = \pi \left(\frac{h}{2}\right) \left(\frac{h}{2} + \frac{h}{2}\sqrt{5}\right) \]
\[ S = \pi \left(\frac{h}{2}\right) \left(\frac{h}{2}(1 + \sqrt{5})\right) \]
\[ S = \frac{\pi h^2}{4}(1 + \sqrt{5}) \]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна \( \frac{\pi h^2}{4}(1 + \sqrt{5}) \). Это детальное решение, которое объясняет каждый шаг процесса.