Какова площадь полной поверхности пирамиды SPQRT с основанием в виде прямоугольника PQRT, высота которой проходит через

Волшебник

22

Давайте решим эту задачу.

Для начала, найдем высоту пирамиды SPQRT. Мы знаем, что высота проходит через середину ребра QR, поэтому она будет равна половине длины ребра QR. Так как QR = 12, то высота будет равна 12/2 = 6.

Теперь займемся нахождением боковой грани, противолежащей ребру QR. Мы знаем, что эта грань наклонена к плоскости основания под углом. Угол не определен в задаче, поэтому назовем его α.

Так как у нас есть прямоугольное основание PQRT, то стороны PQ и QR взаимно перпендикулярны. Также известно, что QP = 8 и QR = 12. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону PR:

\[PR = \sqrt{QP^2 + QR^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208}\]

Теперь мы можем найти высоту боковой грани, обозначим ее h. Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[h = \sqrt{PR^2 - QR^2} = \sqrt{\sqrt{208}^2 - 12^2} = \sqrt{208 - 144} = \sqrt{64} = 8\]

Мы знаем, что площадь боковой грани пирамиды равна полупериметру основания, умноженному на высоту боковой грани. Полупериметр основания равен (PQ + QR + PR)/2. Подставим известные значения:

\[Площадь\ боковой\ грани = \frac{(8 + 12 + \sqrt{208})}{2} \cdot 8 = \frac{(20 + \sqrt{208})}{2} \cdot 8 = (10 + \frac{\sqrt{208}}{2}) \cdot 8\]

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности пирамиды SPQRT, мы должны добавить площадь основания PQRT. Площадь прямоугольника равна длине одной стороны, умноженной на длину другой стороны. В нашем случае, PQ = 8 и QR = 12, поэтому:

\[Площадь\ основания\ PQRT = 8 \cdot 12 = 96\]

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды SPQRT:

\[Полная\ площадь\ поверхности\ пирамиды = Площадь\ боковой\ грани + Площадь\ основания = (10 + \frac{\sqrt{208}}{2}) \cdot 8 + 96\]

Итак, площадь полной поверхности пирамиды SPQRT с основанием в виде прямоугольника PQRT, высота которой проходит через середину ребра QR, будет равна \((10 + \frac{\sqrt{208}}{2}) \cdot 8 + 96\).