Выберите все правильные утверждения: Если производная f’(x) больше нуля на интервале (a;b), то функция f(x) возрастает
Выберите все правильные утверждения: Если производная f’(x) больше нуля на интервале (a;b), то функция f(x) возрастает на интервале (a;b). Если производная f’(x) меньше нуля на интервале (a;b), то функция f(x) убывает на интервале (a;b). Если функция f(x) является непрерывной в точке x0 и меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 у функции есть локальный минимум. Если функция f(x) является непрерывной в точке x0 и меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 у функции есть локальный максимум.
Луня 67
Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и проверим, являются ли они правильными.1. Утверждение: Если производная \(f"(x)\) больше нуля на интервале \((a;b)\), то функция \(f(x)\) возрастает на этом интервале \((a;b)\).
Доказательство: Если производная функции \(f"(x)\) больше нуля на интервале \((a;b)\), это означает, что скорость изменения функции положительна. То есть, при увеличении значения \(x\), значение функции \(f(x)\) также увеличивается. Таким образом, функция возрастает на интервале \((a;b)\).
2. Утверждение: Если производная \(f"(x)\) меньше нуля на интервале \((a;b)\), то функция \(f(x)\) убывает на интервале \((a;b)\).
Доказательство: Если производная функции \(f"(x)\) меньше нуля на интервале \((a;b)\), это означает, что скорость изменения функции отрицательна. То есть, при увеличении значения \(x\), значение функции \(f(x)\) уменьшается. Таким образом, функция убывает на интервале \((a;b)\).
3. Утверждение: Если функция \(f(x)\) является непрерывной в точке \(x_0\) и меняет знак с плюса на минус, то в точке \(x_0\) у функции есть локальный минимум.
Доказательство: Если функция \(f(x)\) меняет знак с плюса на минус в точке \(x_0\), то это означает, что значение функции убывает до точки \(x_0\) и возрастает после нее. Таким образом, в точке \(x_0\) значение функции будет наименьшим на некотором окрестности и, следовательно, у функции есть локальный минимум.
4. Утверждение: Если функция \(f(x)\) является непрерывной в точке \(x_0\) и меняет знак с плюса на минус, то в точке \(x_0\) у функции есть локальный максимум.
Доказательство: Это утверждение неверно. Если функция \(f(x)\) меняет знак с плюса на минус в точке \(x_0\), то это означает, что значение функции возрастает до точки \(x_0\) и убывает после нее. Таким образом, в точке \(x_0\) значение функции будет наибольшим на некотором окрестности и, следовательно, у функции есть локальный максимум.
Итак, из представленных утверждений правильными являются 1 и 3. Утверждения 2 и 4 неверны.