Какова площадь полной поверхности усеченного конуса с радиусами оснований 5 см и 8 см и высотой 4 см? Ответ выразите

Эдуард

34

Данная задача заключается в нахождении площади полной поверхности усеченного конуса с заданными параметрами: радиусами оснований 5 см и 8 см, а также высотой 4 см.

Чтобы решить эту задачу, мы можем разбить поверхность конуса на несколько частей и затем найти площади каждой из них. В случае усеченного конуса, его поверхность состоит из трех частей: площади оснований и площади боковой поверхности.

1. Найдем площадь большего основания конуса. Площадь основания можно найти по формуле площади круга: \(S_{\text{кр}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус основания. В данном случае, радиус большего основания равен 8 см, поэтому

\[S_{\text{кр1}} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\].

2. Теперь найдем площадь меньшего основания конуса. Аналогично, площадь меньшего основания равна

\[S_{\text{кр2}} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\].

3. Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Для этого нам понадобится знать образующую конуса. Образующая \(l\) конуса может быть найдена по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания, половиной разности радиусов оснований и высотой конуса:

\[l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\].

Подставив значения, получим:

\[l = \sqrt{(8 - 5)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\].

Теперь, площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: \(S_{\text{бп}} = \pi \cdot (R + r) \cdot l\):

\[S_{\text{бп}} = \pi \cdot (8 + 5) \cdot 5 = 65\pi\].

4. Наконец, найдем площадь полной поверхности усеченного конуса. Эта площадь равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

\[S_{\text{пп}} = S_{\text{кр1}} + S_{\text{кр2}} + S_{\text{бп}} = 64\pi + 25\pi + 65\pi = 154\pi\].

Таким образом, площадь полной поверхности усеченного конуса с заданными параметрами равна \(154\pi\).

Ответ: 154π