Какова площадь поверхности данной правильной треугольной пирамиды с основанием длиной 12 и боковой гранью, образующей

Таинственный_Маг

15

Для решения задачи о нахождении площади поверхности правильной треугольной пирамиды необходимо использовать формулу для площади поверхности пирамиды. Для начала определим основание и боковую грань пирамиды:

Основание пирамиды - правильный треугольник. По условию его сторона равна 12. Обозначим сторону треугольника как \(a\).

Боковая грань пирамиды - равносторонний треугольник, образующий угол 60° с плоскостью основания. Обозначим его сторону как \(b\).

Теперь приступим к решению:

1. Найдем высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника: \(h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\).
В нашем случае: \(h = \sqrt{12^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\).

2. Найдем площадь основания пирамиды. Основание пирамиды - правильный треугольник, поэтому его площадь можно найти по формуле: \(S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
В нашем случае: \(S_{\text{осн}} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\).

3. Найдем площадь каждой боковой грани пирамиды. Боковая грань пирамиды - равносторонний треугольник, поэтому ее площадь можно найти по формуле: \(S_{\text{бок}} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}\).
В нашем случае: \(S_{\text{бок}} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\).

4. Найдем площадь всех боковых граней пирамиды. Так как у нас 3 боковые грани, площадь всех боковых граней будет равна: \(S_{\text{бок}}_{\text{всех}} = 3 \cdot S_{\text{бок}} = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\).

5. Найдем площадь поверхности пирамиды. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади всех боковых граней: \(S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}_{\text{всех}} = 36\sqrt{3} + 108\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\).

Таким образом, площадь поверхности данной правильной треугольной пирамиды равна \(144\sqrt{3}\).