Какова площадь поверхности куба, описанного около шара с радиусом

Ящерка

11

Для решения задачи нам понадобится знание некоторых формул и свойств фигур. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Найдем диагональ \(d\) куба.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть сторона куба равна \(a\), тогда диагональ \(d\) будет равна квадратному корню из суммы квадратов сторон куба.
Мы можем записать это в виде уравнения:
\[d^2 = a^2 + a^2 + a^2\]
\[d^2 = 3a^2\]
\[d = \sqrt{3}a\]

Шаг 2: Найдем площадь поверхности куба.
Общая площадь поверхности куба состоит из шести квадратов. Так как все стороны куба равны между собой, площадь каждого квадрата будет равна квадрату длины стороны \(a\).
Получаем:
\[S = 6a^2\]

Шаг 3: Найдем радиус шара, описанного вокруг куба.
Из геометрических свойств мы знаем, что диагональ \(d\) куба является двумерным радиусом шара.
Таким образом, мы можем записать радиус шара как половину длины диагонали:
\[R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}\]

Шаг 4: Найдем площадь поверхности шара.
Для этого воспользуемся формулой площади поверхности шара:
\[S_{\text{шара}} = 4\pi R^2\]
\[S_{\text{шара}} = 4\pi \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2\]
\[S_{\text{шара}} = 4\pi \cdot \frac{3a^2}{4}\]
\[S_{\text{шара}} = 3\pi a^2\]

Ответ:
Площадь поверхности куба, описанного около шара с радиусом \(R\), равна \(3\pi a^2\).